| Person | BDI-II T0 | BDI-II T1 | PHQ-9 T0 | PHQ-9 T1 | HDRS T0 | HDRS T1 | CES-D T0 | CES-D T1 | MADRS T0 | MADRS T1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 53.2 | 56.8 | 46.9 | 51.8 | 61.4 | 58.6 | 46.3 | 51.3 | 55.6 | 52.6 |
| 2 | 58.2 | 55.4 | 58.3 | 59.0 | 68.6 | 43.5 | 53.8 | 63.8 | 64.3 | 57.6 |
| 3 | 54.6 | 58.8 | 51.3 | 64.2 | 51.1 | 50.3 | 61.0 | 52.8 | 58.7 | 55.7 |
| 4 | 43.0 | 45.6 | 43.9 | 55.6 | 47.1 | 50.6 | 40.2 | 49.0 | 53.0 | 41.5 |
| 5 | 54.0 | 53.0 | 58.5 | 51.8 | 47.5 | 45.9 | 47.2 | 50.0 | 48.2 | 59.7 |
| 6 | 59.3 | 57.5 | 50.8 | 56.9 | 69.8 | 55.0 | 62.9 | 63.8 | 57.0 | 60.5 |
| 7 | 37.8 | 20.7 | 24.7 | 33.2 | 22.3 | 20.2 | 23.1 | 26.3 | 27.9 | 30.3 |
| 8 | 33.8 | 35.7 | 42.5 | 53.3 | 38.5 | 36.6 | 40.0 | 33.7 | 48.6 | 32.4 |
| 9 | 51.3 | 48.2 | 48.8 | 50.0 | 43.5 | 53.2 | 43.6 | 54.4 | 48.5 | 51.9 |
| 10 | 60.1 | 58.2 | 61.6 | 61.4 | 65.5 | 61.2 | 60.8 | 60.6 | 68.8 | 59.1 |
| 11 | 44.4 | 47.9 | 43.8 | 43.6 | 43.2 | 44.2 | 41.9 | 52.8 | 42.9 | 42.0 |
| 12 | 62.1 | 55.3 | 58.0 | 57.0 | 62.5 | 49.8 | 54.1 | 48.5 | 53.5 | 50.0 |
| 13 | 52.3 | 48.3 | 51.7 | 48.1 | 57.7 | 63.0 | 58.4 | 60.8 | 61.1 | 51.9 |
| 14 | 53.9 | 54.4 | 50.9 | 58.0 | 54.2 | 55.6 | 44.5 | 58.6 | 51.8 | 49.5 |
| 15 | 37.5 | 41.0 | 40.6 | 38.3 | 42.1 | 34.0 | 35.7 | 43.8 | 36.9 | 43.1 |
| 16 | 62.4 | 51.8 | 58.7 | 41.6 | 52.0 | 47.1 | 51.2 | 54.6 | 50.8 | 63.6 |
| 17 | 61.8 | 65.5 | 57.0 | 60.6 | 72.9 | 70.0 | 56.6 | 64.3 | 59.3 | 64.6 |
| 18 | 45.1 | 39.9 | 44.5 | 42.4 | 36.8 | 36.9 | 43.4 | 44.1 | 39.1 | 39.6 |
| 19 | 53.7 | 55.5 | 49.4 | 47.6 | 47.5 | 42.5 | 49.4 | 51.7 | 49.2 | 56.8 |
| 20 | 44.6 | 39.9 | 34.7 | 41.5 | 42.1 | 45.6 | 32.0 | 42.8 | 46.5 | 47.2 |
50 Klassische Testtheorie
50.1 Modelle multipler Testmessungen
Die Klassische Testtheorie nimmt ihren Ausgang von Modellen für beobachtete Werte von mehreren Testmessungen von mehreren Personen. Um für die folgende Modellformulierung ein konkretes Datenbeispiel vor Augen zu haben, aufgrund dessen dann Parameter des Modells der Klassischen Testtheorie geschätzt werden können, gehen wir davon aus, dass wir einen Datensatz wie in untenstehender Tabelle gezeigt vorliegen haben. Dieser Datensatz soll die T-Scores von \(n = 20\) Personen abbilden, für die jeweils \(m = 10\) Tests zur Messung der Depressionssymptomatik durchgeführt wurden. Speziell stellen wir uns vor, dass für jede Person der T-Score des BDI-II, des PHQ-9, der HDRS, der CES-D, und der MADRS zu jeweils zwei Zeitpunkten (T0 und T1) bestimmt wurde. Im Folgenden werden wir Personen mit dem Index \(i\) bezeichnen, haben hier also \(i = 1,...,20\) und Testmessungen mit dem Index \(j\) bezeichnen, haben hier also \(j = 1,...,10\).
50.1.1 Das Modell multipler Testmessungen
Die Klassische Testtheorie in der Formalisierung nach Novick (1966) und Lord & Novick (1968) nimmt ihren Ausgang von der Definition des wahren Werts einer Testmessung einer Person, die die Definitionen des beobachteten Werts und des Messfehlers impliziert. Die Definition nutzt das Konzept eines bedingten Erwartungswerts (vgl. ?sec-theoretische-ergaenzungen) und hat folgende Form.
Definition 50.1 (Wahrer Wert, beobachteter Wert und Messfehler) Für \(i = 1,...,n\) und \(j = 1,...,m\) ist der wahre Wert (true score) \(t_{ij}\) einer Person \(i\) für eine Testmessung \(j\) definiert als der bedingte Erwartungswert des beobachteten Werts (observed score) der Person für diese Testmessung \[\begin{equation} t_{ij} := \mathbb{E}(y_{ij}|\tau_{ij} = t_{ij}). \end{equation}\] Der Messfehler (error score) einer Person ist definiert als die Zufallsvariable \[\begin{equation} \varepsilon_{ij} := y_{ij} - t_{ij}. \end{equation}\]
Mit dem Begriff einer Testmessung ist hier etwas unspezifisch und je nach Anwendung entweder eine Messung mithilfe eines einzelnen Items oder mithilfe der Summe mehrer Items gemeint. An späterer Stelle werden wir die Unterscheidung von Itemscores und Testsummenscores explizit machen. Letztere induzieren im Rahmen der Klassischen Testtheorie den Begriff der \(m\)-Komponententestmodelle (vgl. Kapitel 50.3). Man beachte, dass in Definition 50.1 der Definition bedingter Erwartungswerte gemäß \(\tau_{ij}, y_{ij}\) und \(\varepsilon_{ij}\) Zufallsvariablen sind und \(t_{ij} \in \mathbb{R}\) eine Konstante ist.
Die Definition des wahren Werts \(t_{ij}\) in Definition 50.1 ist etwas speziell (um nicht zu sagen zirkulär bis tautologisch), da \(t_{ij}\) mithilfe von \(t_{ij}\) definiert wird. Die zentrale Motivation von Novick (1966) und Lord & Novick (1968) den wahren Wert \(t_{ij}\) als bedingten Erwartungswert, anstelle von zum Beispiel einfach einer Realisierung der Zufallvariable \(\tau_{ij}\) zu definieren, war es, sich einer Diskussion zur metaphysischen Bedeutung eines wahren Werts zu entziehen. Hätten Novick (1966) und Lord & Novick (1968) beispielsweise den wahren Wert als Realisierung einer latenten Variable definiert, die einer Person für eine bestimmte Testmessung eigen sein soll, so hätte dies in der zeitgenössischen Diskussion eindeutig den Charakter einer angreifbaren metaphysischen Aussage. Stattdessen versuchen Novick (1966) und Lord & Novick (1968) in ihrer Definition möglichst operationalistisch vorzugehen und den wahren Wert einer Person für eine Testmessung als “Durchschnitt der beobachteten Werte” einer Person über “wiederholte Testmessungen unter identischen Bedingungen” darzustellen. Zur Bedeutung des wahren Werts zitieren Lord & Novick (1968), S. 29 - 30 Lazarsfeld (1959):
“Angenommen, wir fragen eine Person, Herrn Brown, wiederholt, ob er die Vereinten Nationen befürwortet; nehmen wir weiter an, dass wir ihm nach jeder Frage „das Gehirn waschen“ und ihm dann dieselbe Frage erneut stellen. Da Herr Brown unsicher ist, wie er zu den Vereinten Nationen steht, wird er manchmal eine befürwortende und manchmal eine ablehnende Antwort geben. Nachdem wir dieses Verfahren viele Male durchgeführt haben, berechnen wir anschließend den Anteil der Male, in denen Herr Brown die Vereinten Nationen befürwortet hat.”
Diese Proportion wollen Novick (1966) und Lord & Novick (1968) dann als wahren Wert verstehen (vgl. auch Borsboom et al. (2004)). Natürlich ist dieser Versuch einer anti-metaphysischen Grundhaltung nicht durchhaltbar: zum einen handelt es sich bei der “wiederholten Testmessung unter identischen Bedingugen” um ein idealisiertes, in der Realität nicht durchführbares, Gedankenexperiment. Zum anderen definieren Novick (1966) und Lord & Novick (1968) den wahren Wert auch gerade nicht als (endlichen) Mittelwert einer Messreihe, sondern als idealisierten Erwartungswert einer Zufallsvariable. Als wirklich operationalistische Definition überzeugt Definition 50.1 also nicht, verkompliziert die Entwicklung einer Standardmessfehlertheorie, wie sie beispielsweise die klassische Formalisierung des Allgemeinen Linearen Modells darstellt, für die Analyse von Tests und Fragebögen aber beträchtlich. Dies mag einer der Gründe sein, warum die Klassische Testtheorie bis heute lediglich in der Psychologie und wenig darüberhinaus von Bedeutung ist.
Ähnlich gelagert ist die Bezeichnung der bedingten Verteilung des beobachteten Werts \(\mathbb{P}(y_{ij}|\tau_{ij} = t_{ij})\) als Propensitätsverteilung durch Lord & Novick (1968), welche die intraindividuelle Variabilität des beobachteten Werts bei festem wahren Wert modelliert. Dabei klingt an, dass Lord & Novick (1968) eine Propensitätsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten als kausal bedingte “Verwirklichungstendenzen”, die, im Gegensatz zur Frequentistischen Interpretation auch im Einzelfall Sinn ergeben, implizieren. Allerdings unterstellen Propensitätsverteilungen kausale Prozesse, die in der Regel nicht spezifiziert und damit auch nicht beobachtbar sind, und führen damit letztlich auch wieder auf metaphysische Aussagen (vgl. auch Borsboom et al. (2004) und Borsboom (2009)).
In unserer Darstellung wollen wir dem modell-basierten realistischen Ansatz folgen und wählen mit Definition 50.2 deshalb eine Formulierung des Modells multipler Testmessungen der Klassischen Testtheorie, die mit Definition 50.1 und damit natürlich auch den theoretischen Ergebnissen der Klassischen Testtheorie kongruent ist, aber nicht versucht, ihren Modellcharakter zu verschleiern. Insbesondere betont unserer Ansatz dabei das Gesamtziel der Modellierung einer Menge von \(m\) Testmessungen von \(n\) Personen als eines Datensatzes von \(nm\) Datenpunkten. Wir definieren das Modell multipler Testmessungen daher wie folgt.
Definition 50.2 (Modell multipler Testmessungen) Für \(i = 1,...,n\) und \(j = 1,...,m\) seien \(\tau_{ij}\) eine Zufallsvariable, die den wahren Wert der \(i\)ten Person in der \(j\)ten Testmessung modelliert und \(y_{ij}\) eine Zufallsvariable, die den beobachteten Wert der \(i\)ten Person in der \(j\)ten Testmessung modelliert. Dann nennen wir die gemeinsame Verteilung der \(\tau_{ij}\) und \(y_{ij}\) mit der Faktorisierungseigenschaft \[\begin{equation} \mathbb{P}\left(\tau_{11},y_{11},...,\tau_{nm},y_{nm}\right) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_{i1},...,\tau_{im})\prod_{j=1}^m \mathbb{P}(y_{ij}|\tau_{ij}) \end{equation}\] das Modell multipler Testmessungen, wenn gilt, dass \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{11},...,\tau_{1m})\prod_{j=1}^m \mathbb{P}(y_{1j}|\tau_{1j}) = \cdots = \mathbb{P}(\tau_{n1},...,\tau_{nm})\prod_{j=1}^m \mathbb{P}(y_{nj}|\tau_{nj}). \end{equation}\]
Die Definition des Modells multipler Testmessungen bildet einige grundlegende Annahmen zur Unabhängigkeit und Identität von Verteilungen in der Klassischen Testtheorie ab. Zunächst einmal wird angenommen, dass die gemeinsame Verteilung der \(\tau_{ij}\) und \(y_{ij}\) über \(i = 1,...,n\) faktorisiert, dass die Verteilungen der wahren Werte und beobachteten Werte also über Personen unabhängig sind. Wissen um wahre oder beobachtete Werte einer Person ändert die angenommenen Verteilungen der wahren und beobachteten Werte anderer Personen also nicht. Im Gegensatz dazu faktorisiert für jedes \(i = 1,...,n\) die gemeinsame Verteilung der \(\tau_{i1},...,\tau_{im}\) über Testmessungen \(j = 1,...,m\) nicht notwendigerweise. Die wahren Werte einer Person können also abhängig sein und damit Wissen um die Ausprägung einer Testmessung bei einer Person die Verteilung des wahren Werts bei anderen Testmessungen derselben Person informieren. In der Klassischen Testtheorie werden verschiedene Arten dieser Form von Abhängigkeiten unterschieden und, wie wir später sehen werden, beispielsweise als Parallelität, \(\tau\)-Äquivalenz oder essentielle \(\tau\)-Äquivalenz bezeichnet. Weiterhin wird für jede Person \(i = 1,...,n\) angenommen, dass die beobachteten Werte \(y_{ij}\) für \(j = 1,...,m\) gegeben \(\tau_{ij}\) bedingt unabhängig sind. Dies impliziert einerseits, dass für eine Person der wahre Wert in Testmessung \(k \neq j\) den beobachteten Wert in Testmessung \(j\) nicht beinflusst und andererseits, dass der beobachtete Wert in Testmessung \(k \neq j\) den beobachteten Wert in Testmessung \(j\) nicht beeinflusst.
Schließlich wird angenommen, dass die Marginalverteilungen \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{i1},y_{i1},...,\tau_{im},y_{im}) = \mathbb{P}(\tau_{i1},...,\tau_{im})\prod_{j=1}^m \mathbb{P}(y_{ij}|\tau_{ij}) \end{equation}\] über Personen \(i = 1,...,n\) identisch sind. Man mag sich die Realisierungen von wahren Werten und beobachteten Werten also als unabhängige und identische Realisierungen aus einer “Populationsverteilung” \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{\bullet 1},y_{\bullet 1},...,\tau_{\bullet m},y_{\bullet m}) = \mathbb{P}(\tau_{\bullet 1},...,\tau_{\bullet m})\prod_{j=1}^m \mathbb{P}(y_{\bullet j}|\tau_{\bullet j}) \end{equation}\] vorstellen, wobei das Subskript \(\bullet\) die Unspezifität dieser Verteilung bezüglich einer Person symbolisieren soll.
Betrachtet man den Spezialfall einer einzelnen Testmessung bei \(n\) Personen, so ergibt sich eine vereinfachte Form von Definition 50.2, auf die man häufig in der psychologischen Literatur trifft. Nach Definition 50.2 gilt für eine Testmessung, also \(m = 1\), \[\begin{equation} \mathbb{P}\left(\tau_{11},y_{11},...,\tau_{n1},y_{n1}\right) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_{i1})\mathbb{P}(y_{i1}|\tau_{i1}), \end{equation}\] wobei nach Annahme von Definition 50.2 die gemeinsamen Marginalverteilungen \(\mathbb{P}(\tau_{i1}, y_{i1})\) über Personen \(i = 1,...,n\) identisch sind. Wie oben kann man sich die wahren und beobachteten Werte für eine Testmessung also als unabhängige Realisierungen der “Populationsverteilung” \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{\bullet 1})\mathbb{P}(y_{\bullet 1}|\tau_{\bullet 1}) \end{equation}\] vorstellen. Verzichtet man nun noch auf die Subskripte \(\bullet 1\), gelangt man zu folgender vereinfachter Definition des Modells der Klassischen Testtheorie.
Definition 50.3 (Vereinfachtes Modell der Klassischen Testtheorie) \(\tau\) sei eine Zufallsvariable, die die Verteilung der wahren Werte einer Testmessung in einer Population von Individuen beschreibt und \(y\) sei eine Zufallsvariable, die die Verteilung der beobachteten Werte dieser Testmessung beschreibt. Dann heißt die gemeinsame Verteilung von \(\tau\) und \(y\) \[\begin{equation} \mathbb{P}\left(\tau,y\right) = \mathbb{P}(\tau)\mathbb{P}(y|\tau) \end{equation}\] das Vereinfachte Modell der Klassischen Testtheorie.
Definition 50.3 hat gegenüber Definition 50.2 den Vorteil, dass weniger Zufallsvariablen und Indizes auftreten und auf die Redundanz der unterschiedlichen Bezeichnung vieler gleicher Verteilungen verzichtet werden kann. Im Sinne Frequentistischer Produktmodelle mag man bezüglich der Daten von \(n\) Personen hier auch \[\begin{equation} (\tau_1,y_1), ...,(\tau_n,y_n) \sim \mathbb{P}(\tau,y) \end{equation}\] schreiben, wobei nur die \(y_1,...,y_n\) beobachtete, die \(\tau_1,...,\tau_n\) dagegen latente Zufallsvariablen sind. Weiterhin gilt, dass man viele wichtige Eigenschaften des Modells der Klassischen Testtheorie schon basierend auf den Eigenschaften von \(\mathbb{P}\left(\tau,y \right)\) begründen kann, wie wir unten sehen werden. Generell ist das vereinfachte Modell der Klassischen Testtheorie einfacher zu handhaben als das Modell multipler Testmessungen. Problematisch wird es allerdings, sobald mehrere Testmessungen ins Spiel kommen, beispielsweise bei Abhängigkeitsbetrachtungen zwischen zwei Tests oder zwei Items eines Tests. Dies ist allerdings bei den meisten Aussagen der Klassischen Testtheorie der Fall. Außerdem gilt auch, dass Schätzer der Modellparameter immer auf allen Werten der beobachteten Zufallsvariablen \(y_{1j}, ...y_{nj}\) beruhen, diese in Definition 50.3 aber überhaupt nicht auftreten. Definition 50.3 ist für theoretische Betrachtungen also oft einfacher zu handhaben als Definition 50.2, der Anwendung der Klassischen Testtheorie in der Testdatenanalyse liegt im Allgemeinen aber Definition 50.2 zugrunde. Wir werden je nach Bedarf zwischen beiden Modellformulierungen hin und her wechseln, halten aber fest, dass die Modellformulierung im Sinne von Definition 50.2 unser Standardfall ist.
Eigenschaften des Modells multipler Testmessungen
Eigenschaften bezüglich einer Testmessung
Das Modell multipler Testmessungen nach Definition 50.2 hat zunächst eine Reihe von Eigenschaften bezüglich einer und damit jeder Testmessung, die für die Anwendung der Klassischen Testtheorie grundlegend sind. Wir fassen fünf dieser Eigenschaften in folgendem Theorem zusammen.
Theorem 50.1 (Eigenschaften bezüglich einer Testmessung) Gegeben sei das Modell multipler Testmessungen. Dann gelten für alle \(i = 1,...,n\) und alle \(j = 1,...,m\)
- \(\mathbb{E}(\varepsilon_{ij}|\tau_{ij} = t_{ij}) = 0\)
- \(\mathbb{E}(\varepsilon_{ij}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\tau_{ij}, \varepsilon_{ij}) = 0\)
- \(\mathbb{V}(y_{ij}) = \mathbb{V}(\tau_{ij}) + \mathbb{V}(\varepsilon_{ij})\)
- \(\mathbb{C}(y_{ij},\tau_{ij}) = \mathbb{V}(\tau_{ij})\)
Beweis. Zur Vereinfachung der Notation im Sinne des einfachen Modells der klassischen Testtheorie nach Definition 50.3 setzen wir zunächst für alle \(i = 1,...,n\) und \(j = 1,...m\) \[\begin{equation} y := y_{ij} \mbox{ und } \tau := \tau_{ij} \mbox{ mit Ergebnisräumen } Y := Y_{ij} \mbox{ und } T := T_{ij}. \end{equation}\] Weiterhin bezeichnen wir die Werte von \(y\) mit \(\tilde{y}\) und die Werte von \(\tau\) mit \(t\). Schließlich betrachten wir nur den diskreten Fall, setzen also die Existenz einer WMF \(p : Y \times T \to [0,1]\) der Form \[\begin{equation} p(t,\tilde{y}) = p(\tilde{y}|t)p(t) \end{equation}\] voraus. Der kontinuierliche Fall oder gemischt diskret-kontinuierliche Fall folgt dann jeweils analog.
(1) Es gilt \[\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{E}(\varepsilon|\tau = t)
& := \mathbb{E}(y - \tau|\tau = t) \\
& = \sum_{\tilde{y} \in Y} \left(\tilde{y} - t\right)p(\tilde{y}|t) \\
& = \sum_{\tilde{y} \in Y} \tilde{y} p(\tilde{y}|t) - \sum_{\tilde{y} \in Y} t p(\tilde{y}|t) \\
& = \mathbb{E}(y|\tau = t) - t \sum_{\tilde{y} \in Y} p(\tilde{y}|t)\\
& = t - t\cdot 1 \\
& = 0.
\end{split}
\end{align}\] (2) Es gilt
\[\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{E}(\varepsilon)
& := \mathbb{E}(y - \tau) \\
& = \sum_{t \in T}\sum_{\tilde{y} \in Y} \left(\tilde{y} - t\right)p(t,\tilde{y}) \\
& = \sum_{t \in T}\sum_{\tilde{y} \in Y} \left(\tilde{y} - t\right)p(\tilde{y}|t)p(t) \\
& = \sum_{t \in T}\sum_{\tilde{y} \in Y} \tilde{y} p(\tilde{y}|t)p(t) - t p(\tilde{y}|t)p(t) \\
& = \sum_{t \in T}\sum_{\tilde{y} \in Y} p(t)\left(\tilde{y} p(\tilde{y}|t) - t p(\tilde{y}|t)\right)\\
& = \sum_{t \in T} p(t)\left(\sum_{\tilde{y} \in Y} \tilde{y} p(\tilde{y}|t) - t \sum_{\tilde{y} \in Y}p(\tilde{y}|t)\right)\\
& = \sum_{t \in T} p(t) \left(t - t \cdot 1\right)\\
& = \sum_{t \in T} p(t) \cdot 0\\
& = 0.
\end{split}
\end{align}\] (3) Es gilt \[\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{C}(\tau, \varepsilon)
& = \mathbb{E}\left((\tau -\mathbb{E}(\tau))(\varepsilon - \mathbb{E}(\varepsilon))\right) \\
& = \mathbb{E}\left((\tau -\mathbb{E}(\tau))\varepsilon \right) \\
& = \mathbb{E}\left((\tau -\mathbb{E}(\tau))(y - \tau)\right) \\
& = \sum_{t \in T}\sum_{\tilde{y} \in Y} \left((t-\mathbb{E}(\tau))(\tilde{y}-t)\right)p(t,\tilde{y}) \\
& = \sum_{t \in T}\sum_{\tilde{y} \in Y} (t-\mathbb{E}(\tau))(\tilde{y} - t)p(\tilde{y}|t)p(t) \\
& = \sum_{t \in T}p(t)(t-\mathbb{E}(\tau))\sum_{\tilde{y} \in Y} \left(\tilde{y} - t\right)p(\tilde{y}|t) \\
& = \sum_{t \in T}p(t)(t-\mathbb{E}(\tau))\sum_{\tilde{y} \in Y} \left(\tilde{y} p(\tilde{y}|t) - t p(\tilde{y}|t) \right) \\
& = \sum_{t \in T}p(t)(t-\mathbb{E}(\tau)) \left(\sum_{\tilde{y} \in Y}\tilde{y} p(\tilde{y}|t) - t \sum_{\tilde{y} \in Y} p(\tilde{y}|t) \right) \\
& = \sum_{t \in T}p(t)(t-\mathbb{E}(\tau)) \left(t - t \cdot 1 \right) \\
& = \sum_{t \in T}p(t)(t-\mathbb{E}(\tau)) \cdot 0 \\
& = 0. \\
\end{split}
\end{align}\] (4) Mit dem Theorem zu Varianzen von Summen und Differenzen von Zufallsvariablen (Theorem 25.7) sowie Aussage (3) des vorliegenden Theorems gilt \[\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(y)
= \mathbb{V}(\tau + \varepsilon)
= \mathbb{V}(\tau) + \mathbb{V}(\varepsilon) + 2\mathbb{C}(\tau,\varepsilon)
= \mathbb{V}(\tau) + \mathbb{V}(\varepsilon) + 2\cdot 0
= \mathbb{V}(\tau) + \mathbb{V}(\varepsilon)
\end{split}
\end{align}\] (5) Mit dem Kovarianzverschiebungssatz (Theorem 25.2), der Linearkombinationseigenschaft des Erwartungswerts (Theorem 23.5), Aussage (2) des vorliegenden Theorems und der Tatsache, dass mit Aussage (4) des vorliegenden Theorems außerdem folgt, dass \[\begin{equation}
\mathbb{E}(\varepsilon\tau)
= \mathbb{E}(\tau\varepsilon)
= \mathbb{C}(\tau,\varepsilon) + \mathbb{E}(\tau)\mathbb{E}(\varepsilon)
= 0 + \mathbb{E}(\tau)\cdot 0
= 0,
\end{equation}\] gilt \[\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{C}(y, \tau)
& = \mathbb{E}(y\tau) - \mathbb{E}(y)\mathbb{E}(\tau) \\
& = \mathbb{E}((\tau + \varepsilon)\tau) - \mathbb{E}(\tau + \varepsilon)\mathbb{E}(\tau) \\
& = \mathbb{E}(\tau^2 + \varepsilon\tau) - \left(\mathbb{E}(\tau) + \mathbb{E}(\varepsilon)\right)\mathbb{E}(\tau) \\
& = \mathbb{E}(\tau^2) + \mathbb{E}(\varepsilon\tau) - \mathbb{E}(\tau)^2 - \mathbb{E}(\varepsilon)\mathbb{E}(\tau) \\
& = \mathbb{E}(\tau^2) + \mathbb{E}(\varepsilon\tau) - \mathbb{E}(\tau)^2 - 0\cdot \mathbb{E}(\tau) \\
& = \mathbb{E}(\tau^2) + 0 - \mathbb{E}(\tau)^2 - 0\cdot \mathbb{E}(\tau) \\
& = \mathbb{E}(\tau^2) - \mathbb{E}(\tau)^2 \\
& = \mathbb{V}(\tau).
\end{split}
\end{align}\]
Wie die Subskripte in Theorem 50.1 verdeutlichen, beziehen sich die Aussagen von Theorem 50.1 auf die Zufallsvariablen zur Modellierung der Daten einer Person \(i\) und einer Testmessung \(j\) und gelten gleichermaßen für alle \(i = 1,...,n\) und \(j = 1,...,m\). Aussage (1) von Theorem 50.1 betrifft den Erwartungswert des Messfehlers bedingt auf einem festen Wert des wahren Werts, in diesem Fall ist der wahre Wert also keine Zufallsvariable und die Verteilung von Interesse ist \(\mathbb{P}(\varepsilon_{ij}|\tau_{ij} = t_{ij})\). Aussagen (2) bis (5) beziehen sich auf Eigenschaften der (gemeinsamen) Marginalverteilungen von \(y_{ij}\), \(\tau_{ij}\) und \(\varepsilon_{ij}\). Im Sinne des vereinfachten Modells der Klassischen Testtheorie (Definition 50.3) werden obige Eigenschaften oft auch als
- \(\mathbb{E}(\varepsilon|\tau = t) = 0\)
- \(\mathbb{E}(\varepsilon) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\tau, \varepsilon) = 0\)
- \(\mathbb{V}(y) = \mathbb{V}(\tau) +\mathbb{V}(\varepsilon)\)
- \(\mathbb{C}(y,\tau) = \mathbb{V}(\tau)\)
geschrieben.
Spezieller Weise folgt nach Aussage (1) von Theorem 50.1 für das Modell multipler Messungen, dass der bedingte Erwartungswert des Messfehlers \(\mathbb{E}(\varepsilon|\tau = t)\) gleich Null ist aus der Definition des wahren Werts. Dies steht im direkten Gegenentwurf zu typischen Annahmen über Messfehler, die üblicherweise einen Messfehler mit einem (bedingten) Erwartungswert von Null definieren, da sie von Null verschiedene Beiträge zu einem Datenpunkt als Teil der durch sie repräsentierten Theorie konzeptualisieren. Weil im Modell multipler Testmessungen der bedingte Erwartungswert des Messfehlers für jeden wahren Wert \(t\) gleich Null, folgt dann nach (2) von Theorem 50.1, dass auch der marginale Erwarungswert des Messfehlers \(\mathbb{E}(\varepsilon)\) gleich Null ist.
Aussage (3) von Theorem 50.1, dass im Modell multipler Testmessungen also gilt, dass die Kovarianz der wahren Werte und der Messfehler gleich Null ist, besagt bekanntlich, dass hohe oder niedrige wahre Werte nicht systematisch mit hohen oder niedrigen Messfehlern assoziiert sind. Die daraus folgende Aussagen (4) und (5) von Theorem 50.1, dass also die Varianz der beobachteten Werte additiv in Varianzbeiträge der wahren Wert und der Messfehler zerlegt werden kann und dass die Kovarianz der beobachteten Werte und der wahre Werte einer Testmessung der Varianz der wahren Werte enstpricht, werden an späterer Stelle essentiell für die Eigenschaften der Reliabilität von Testmessungen sein.
Beispiel
Im Folgenden wollen wir Theorem 50.1 noch an einem konkreten ersten Beispiel nach Lord & Novick (1968), Exercise 2.17 für ein Modell multipler Testmessungen veranschaulichen, wobei wir hierbei natürlich auf eine einzige Testmessung fokussieren.
Theorem 50.2 (Normalverteilungsbeispiel) Es seien \(i = 1,...,n\) und \(m := 1\) mit \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{i1}) := N(\mu,1) \mbox{ und } \mathbb{P}(y_{i1}|\tau_{i1}) := N(\tau_{i1},1) \end{equation}\] Dann gelten
- \(\mathbb{P}(y_{i1}) = N(\mu,2)\)
- \(\mathbb{P}(\varepsilon_{i1}|\tau_{i1}) = N(0,1)\)
- \(\mathbb{P}(\varepsilon_{i1}) = N(0,1)\)
- \(\mathbb{C}(\tau_{i1},\varepsilon_{i1}) = 0\)
Beweis. Zur Vereinfachung der Notation setzen wir \(\tau := \tau_{i1}, y := y_{i1}, \varepsilon := \varepsilon_{i1}\).
(1) Wir betrachten die durch
\[\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau) = N(\mu,1) \mbox{ und }
\mathbb{P}(y|\tau) = N(\tau,1)
\end{equation}\] induzierte gemeinsame Verteilung von \(\tau\) und \(y\), wobei offenbar \[\begin{equation}
\mathbb{P}(y|\tau) = N(a\cdot \mu + b,1) \mbox{ mit } a:= 1 \mbox{ und } b := 0
\end{equation}\] gilt. Aus dem Theorem zu gemeinsamen Normalverteilungen (vgl. Theorem 29.5) ergibt sich dann zunächst, dass \[\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\tau \\ y
\end{pmatrix}
\sim
N\left(
\begin{pmatrix}
\mu \\ 1 \cdot \mu + 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 1 \cdot 1 \\
1 \cdot 1 & 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1
\end{pmatrix}
\right)
=
N\left(
\begin{pmatrix}
\mu \\ \mu
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
\right)
\end{equation}\] Aus dem Theorem zu marginalen Normalverteilungen (vgl. Theorem 29.4) ergibt sich dann durch Ablesen \(y \sim N(\mu,2)\).
(2) Wir betrachten \(\mathbb{P}(\varepsilon|\tau = t)\) für einen beliebigen Wert \(t \in \mathbb{R}\). Dann gilt \[\begin{equation} \varepsilon := y - t \mbox{ mit } y \sim N(t,1) \end{equation}\] Mit dem Theorem zu linear-affinen Transformation normalverteilter Zufallsvariablen (vgl. Theorem 29.8) gilt dann \[\begin{equation} \varepsilon \sim N\left(t - t, 1^2 \cdot 1\right) = N(0,1) \end{equation}\] Die Tatsache, dass dies für alle möglichen Werte von \(\tau\) gilt, ist gerade Aussage (2).
(3) und (4) Wir betrachten die durch
\[\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau) = N(\mu,1) \mbox{ und }
\mathbb{P}(\varepsilon|\tau) = N(0,1)
\end{equation}\] induzierte gemeinsame Verteilung von \(\tau\) und \(\varepsilon\), wobei offenbar \[\begin{equation}
\mathbb{P}(\varepsilon|\tau) = N(a\cdot \mu + b,1) \mbox{ mit } a:= 0 \mbox{ und } b := 0
\end{equation}\] gilt. Aus dem Theorem zu gemeinsamen Normalverteilungen (vgl. Theorem 29.5) ergibt sich dann zunächst, dass \[\begin{equation}
\begin{pmatrix}
\tau \\ \varepsilon
\end{pmatrix}
\sim
N\left(
\begin{pmatrix}
\mu \\ 0 \cdot \mu + 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 1 \cdot 0 \\
0\cdot 1 & 1 + 0 \cdot 1 \cdot 0
\end{pmatrix}
\right)
=
N\left(
\begin{pmatrix}
\mu \\ 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\right)
\end{equation}\] Aus dem Theorem zu marginalen Normalverteilungen (vgl. Theorem 29.4) ergeben sich dann durch Ablesen \[\begin{equation}
\varepsilon \sim N(0,1)
\mbox{ und }
\mathbb{C}(\tau,\varepsilon) = 0.
\end{equation}\]
Das Beispiel zeigt insbesondere, wie die Spezifika des Modells multipler Testmessungen der Klassischen Testtheorie äquivalent durch Definition eines zeitgemäßen probabilistischen Modells erzeugt werden können. Hier induzieren die Definition der marginalen Verteilung des wahren Werts und die Definition der bedingten Verteilung des beobachteten Werts zunächst die gemeinsame Normalverteilung von \(\tau_{i1}\) und \(y_{i1}\). Die Definition des Messfehlers als Differenz zwischen beobachtetem Wert und dem bedingten Erwartungswert des wahren Werts ergibt dann die bedingte Verteilung des Messfehlers. Diese und die Definitionen des Beispiels induzieren dann eine gemeinsame Normalverteilung von \(\tau_{i1}\) und \(\varepsilon_{i1}\). Die weiteren Eigenschaften im Sinne von Theorem 50.1 ergeben sich in diesem Beispiel dann mit den Eigenschaften gemeinsamer Normalverteilungen.
Mithilfe folgender Simulation wollen wir das hier diskutierte Beispiel noch weiter verdeutlichen. Wir setzen dafür \(\mu := 1\) und generieren \(10^4\) Realisierungen der marginalen Verteilung von \(\tau_{i1}\) und der bedingten Verteilung von \(y_{i1}\).
n = 1e4 # Personenanzahl
m = 1 # Testmessungsanzahl
mu = 1 # Erwartungswertparameter Wahrer Werte
T = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Wahrer Wert Array
Y = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Beobachteteter Wert Array
E = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Messfehler Array
for(i in 1:n){ # Iteration über Personen
for(j in 1:m){ # Iteration über Testmessungen
T[i,j] = rnorm(1,mu,1) # Wahrer Wert Realisierung
Y[i,j] = rnorm(1,T[i,j],1) # Beobachteter Wert Realisierung
E[i,j] = Y[i,j] - T[i,j]}} # Messfehler Realisierung
e_hat_es = mean(E[,1]) # Erwartungswertschätzung Messfehler
c_hat_ts_es = cov(T[,1],E[,1]) # Kovarianzschätzung Wahren Wert, Messfehler
v_hat_os = var(Y[,1]) # Varianzschätzung Beobachteter Wert
v_hat_ts = var(T[,1]) # Varianzschätzung Wahrer Wert
v_hat_es = var(E[,1]) # Varianzschätzung Messfehler
c_hat_os_ts = cov(Y[,1],E[,1]) # Kovarianzschätzung Beobachteter Wert, Wahrer WertAbbildung 50.1 A und B zeigen die resultierenden marginale Verteilungen von \(y_{i1}\) und \(\varepsilon_{i1}\) mit ihren theoretischen Entsprechungen laut Theorem 50.2. Abbildung 50.1 C zeigt die gemeinsame Verteilung von \(\tau_{i1}\) und \(\varepsilon_{i1}\) mit ihrer theoretischen Entsprechung. Abbildung 50.1 D schließlich zeigt die auf Grundlage der Simulation gewonnenen Schätzer relevanter Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen in diesem Modell, die die theoretischen Einsichten nach Theorem 50.2 bestätigen.
Eigenschaften bezüglich zweier Testmessungen
Bisher haben wir fünf Eigenschaften des Modells multipler Testmessungen kennengelernt, die für den wahren Wert \(\tau_{ij}\), den beobachteten Wert \(y_{ij}\) und den Messfehler \(\varepsilon_{ij}\) einer (und damit jeder) Person \(i\) und einer (und damit jeder) Testmessung \(j\) gelten. Im Folgenden beschäftigen wir uns mit Eigenschaften des Modells multipler Testmessungen, die für die wahren Werte \(\tau_{ij}\) und \(\tau_{ik}\), beobachteten Werte \(y_{ij}\) und \(y_{ik}\) und Messfehler \(\varepsilon_{ij}\) und \(\varepsilon_{ik}\) einer (und damit jeder) Person \(i\) hinsichtlich zweier Testmessungen \(j\) und \(k\) gelten. Wir fassen diese Eigenschaften, die manchmal als lokale Unkorreliertheit des Modells multipler Testmessungen bezeichnet werden (vgl. Krauth (1995)), in folgende Theorem zusammen.
Theorem 50.3 (Eigenschaften bezüglich zweier Testmessungen) Gegeben sei das Modell multipler Testmessungen. Dann gelten für alle \(i = 1,...,n\) und alle \(j\) und \(k\) mit \(1 \le j,k \le m\) und \(j \neq k\), dass
- \(\mathbb{C}(y_{ij},y_{ik}|\tau_{ij} = t_{ij},\tau_{ik} = t_{ik}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\varepsilon_{ij},\varepsilon_{ik}|\tau_{ij} = t_{ij},\tau_{ik} = t_{ik}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\varepsilon_{ij},\varepsilon_{ik}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\tau_{ij},\varepsilon_{ik}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(y_{ij},y_{ik}) = \mathbb{C}(\tau_{ij},\tau_{ik})\)
Beweis. Zur Vereinfachung der Notation verzichten wir in den Beweisen auf das \(i\) Subskript. Wir betrachten weiterhin nur den diskreten Fall und setzen die Existenz der marginalen WMF \[\begin{equation} p(t_j,\tilde{y}_j,t_k,\tilde{y}_k) = p(t_j,t_k)p(\tilde{y}_j|t_j)p(\tilde{y}_k|t_k) \end{equation}\] und folglich auch der bedingten Wahrscheinlichkeitsmassefunktion \[\begin{equation} p(\tilde{y}_j, \tilde{y}_k|t_j,t_k) = \frac{p(t_j,\tilde{y}_j,t_k,\tilde{y}_k)}{p(t_j,t_k)} = \frac{p(t_j,t_k)p(\tilde{y}_j|t_j)p(\tilde{y}_k|t_k)}{p(t_j,t_k)} = p(\tilde{y}_j|t_j)p(\tilde{y}_k|t_k) \end{equation}\] voraus. Der kontinuierliche Fall folgt dann wieder analog.
(1) Es gilt \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{C}(y_{j},y_{k}|\tau_{j} = t_{j},\tau_{k} = t_{k}) & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} (\tilde{y}_j - \mathbb{E}(y_j|\tau_j = t_j)) (\tilde{y}_k - \mathbb{E}(y_k|\tau_k = t_k)) p(\tilde{y}_j|t_j)p(\tilde{y}_k|t_k) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t_j) p(\tilde{y}_j|t_j) \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} (\tilde{y}_k - t_k) p(\tilde{y}_k|t_k) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t_j) p(\tilde{y}_j|t_j) \left( \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} \tilde{y}_k p(\tilde{y}_k|t_k) - t_k \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}p(\tilde{y}_k|t_k) \right) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t_j) p(\tilde{y}_j|t_j) \left( t_k - t_k \cdot 1 \right) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t_j) p(\tilde{y}_j|t_j) \cdot 0 \\ & = 0. \end{split} \end{align}\] (2) Wir bestimmen zunächst \(\mathbb{E}(\varepsilon_j\varepsilon_k|\tau_j = t_j, \tau_k = t_k)\). Es gilt \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{E}(\varepsilon_j\varepsilon_k|\tau_j = t_j, \tau_k = t_k) & = \mathbb{E}((y_j - \tau_j)(y_k - \tau_k)|\tau_j = t_j, \tau_k = t_k) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} (\tilde{y}_j - t_j)(\tilde{y}_k - t_k) p(\tilde{y}_j|t_j)p(\tilde{y}_k|t_k) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t_j) p(\tilde{y}_j|t_j) \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} (\tilde{y}_k - t_k) p(\tilde{y}_k|t_k) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t_j) p(\tilde{y}_j|t_j) \left( \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} \tilde{y}_k p(\tilde{y}_k|t_k) - t_k \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} p(\tilde{y}_k|t_k) \right) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t_j) p(\tilde{y}_j|t_j) \left( t_k - t_k \cdot 1 \right) \\ & = \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t_j) p(\tilde{y}_j|t_j) \cdot 0 \\ & = 0. \end{split} \end{align}\] Mit dem Verschiebungssatz der bedingten Kovarianz (Theorem 25.8) und Aussage (1) des Theorems zu den Eigenschaften bezüglich einer Testmessung (Theorem 50.1) folgt dann \[\begin{equation} \mathbb{C}(\varepsilon_j,\varepsilon_k|\tau_j = t_j, \tau_k = t_k) = \mathbb{E}(\varepsilon_j\varepsilon_k|\tau_j = t_j, \tau_k = t_k) - \mathbb{E}(\varepsilon_j|\tau_j = t_j)\mathbb{E}(\varepsilon_k|\tau_k = t_k) = 0 - 0 \cdot 0 = 0. \end{equation}\] (3) Wir bestimmen zunächst \(\mathbb{E}(\varepsilon_j\varepsilon_k)\). Mit dem Beweis von Aussage (2) des vorliegenden Theorems ergibt sich \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{E}(\varepsilon_{j}\varepsilon_{k}) & = \mathbb{E}((y_j - \tau_j)(y_k - \tau_k)) \\ & = \sum_{t_j \in T_j} \sum_{t_k \in T_k} \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} (\tilde{y}_j - t_j)(\tilde{y}_k - t_k) p(\tilde{y}_j|t_j)p(\tilde{y}_k|t_k) p(t_j,t_k) \\ & = \sum_{t_j \in T_j} \sum_{t_k \in T_k} \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} (\tilde{y}_j - \mathbb{E}(y_j |\tau_j = t_j))(\tilde{y}_k - \mathbb{E}(y_k |\tau_k = t_k)) p(\tilde{y}_j|t_j)p(\tilde{y}_k|t_k) p(t_j,t_k) \\ & = \sum_{t_j \in T_j} \sum_{t_k \in T_k} \mathbb{E}\left((y_j - \tau_j) (y_k - \tau_k)| \tau_j = t_j, \tau_j = t_j\right) p(t_j,t_k) \\ & = \sum_{t_j \in T_j} \sum_{t_k \in T_k} \mathbb{E}\left(\varepsilon_j\varepsilon_k | \tau_j = t_j, \tau_j = t_j\right) p(t_j,t_k) \\ & = \sum_{t_j \in T_j} \sum_{t_k \in T_k} 0 \cdot p(t_j,t_k) \\ & = 0. \end{split} \end{align}\] Mit dem Kovarianzverschiebungssatz (Theorem 25.2) und Aussage (2) des Theorems zu den Eigenschaften bezüglich einer Testmessung (Theorem 50.1) ergibt sich dann \[\begin{equation} \mathbb{C}(\varepsilon_j,\varepsilon_k) = \mathbb{E}(\varepsilon_j\varepsilon_k) - \mathbb{E}(\varepsilon_j)\mathbb{E}(\varepsilon_k) = 0 - 0 \cdot 0 = 0. \end{equation}\] (4) Mit dem Kovarianzverschiebungssatz (Theorem 25.2) und Aussage (2) des Theorems zu den Eigenschaften bezüglich einer Testmessung (Theorem 50.1) gilt \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{C}(\tau_j,\varepsilon_k) & = \mathbb{E}(\tau_j\varepsilon_k) - \mathbb{E}(\tau_j)\mathbb{E}(\varepsilon_k) \\ & = \mathbb{E}(\tau_j\varepsilon_k) - \mathbb{E}(\tau_j)\cdot 0 \\ & = \mathbb{E}(\tau_j(\tilde{y}_k - \tau_k)) \\ & = \sum_{t_j \in T_j} \sum_{t_k \in T_k} \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} t_j(y_k - t_k) p(\tilde{y}_k|t_k) p(t_j,t_k) \\ & = \sum_{t_j \in T_j} t_j \sum_{t_k \in T_k} p(t_j, t_k) \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} (y_k - t_k) p(\tilde{y}_k|t_k) \\ & = \sum_{t_j \in T_j} t_j \sum_{t_k \in T_k} p(t_j,t_k) \left( \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}y_k p(\tilde{y}_k|t_k) - t_k \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}p(\tilde{y}_k|t_k) \right)\\ & = \sum_{t_j \in T_j} t_j \sum_{t_k \in T_k} p(t_j, t_k) \left(t_k - t_k \cdot 1\right)\\ & = \sum_{t_j \in T_j} t_j \sum_{t_k \in T_k} p(t_j, t_k) \cdot 0\\ & = 0. \\ \end{split} \end{align}\] (5) Wir halten zunächst fest, dass mit Aussage (4) durch Vertauschen der Indizes und der Symmetrie der Kovarianz auch \[\begin{equation} \mathbb{C}(\tau_k,\varepsilon_j) = \mathbb{C}(\varepsilon_j, \tau_k) = 0 \end{equation}\] gilt. Mit dem Theorem zur paarweisen Addition von Zufallsvariablen (Theorem 25.5) und Aussage (3) des vorliegenden Theorems gilt dann \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{C}(y_j,y_k) & = \mathbb{C}(\tau_j + \varepsilon_j,\tau_k + \varepsilon_k) \\ & = \mathbb{C}(\tau_j ,\tau_k) + \mathbb{C}(\tau_j ,\varepsilon_k) + \mathbb{C}(\varepsilon_j,\tau_k) + \mathbb{C}(\varepsilon_j,\varepsilon_k) \\ & = \mathbb{C}(\tau_j,\tau_k) + 0 + 0 + 0 \\ & = \mathbb{C}(\tau_j,\tau_k). \end{split} \end{align}\]
Im Sinne des vereinfachten Modells der Klassischen Testtheorie nach Definition 50.3 werden die Aussagen von Theorem 50.3 oft auch als
- \(\mathbb{C}(y_{j},y_{k}|\tau_{j} = t_{j},\tau_{k} = t_{k}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\varepsilon_{j},\varepsilon_{k}|\tau_{j} = t_{j},\tau_{k} = t_{k}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\varepsilon_{j},\varepsilon_{k}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\tau_{j},\varepsilon_{k}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(y_{j},y_{k}) = \mathbb{C}(\tau_{j},\tau_{k})\)
geschrieben. Die ersten beiden Aussagen von Theorem 50.3 besagen, dass, bedingt auf den jeweiligen wahren Werten, die Kovarianzen von beobachteten Werten sowie die Kovarianzen der Messfehlert einer Person zwischen zwei Testmessungen gleich Null sind. Für die Messfehler gilt dies nach Aussage (3) von Theorem 50.3 auch im Sinne der unbedingten Marginalverteilung. Dies entspricht damit der paarweisen Unabhängigkeit von Messfehlren über Testmessungen im Modell multipler Testmessungen. Weiterhin ist nach Aussage (4) die Kovarianz des wahren Werts bei einer Testmessung mit dem Messfehler einer anderen Testmessung gleich Null. Schließlich gilt nach Aussage (5), dass die Kovarianz der beobachteten Werte zweier Testmessungen gleich der Kovarianz der wahren Werte ist.
Beispiel
Als erstes Beispiel für ein Modell multipler Testmessungen mit \(m>1\) setzen wir das Beispiel aus Theorem 50.2 fort und betrachten den Fall zweier Testmessungen \(j = 1,2\). Für \(i = 1,...,n\) seien entsprechend \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{i1}, \tau_{i2}) = \mathbb{P}(\tau_{i2}|\tau_{i1})\mathbb{P}(\tau_{i1}) \end{equation}\] mit \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{i1}) := N(1,1) \mbox{ und } \mathbb{P}(\tau_{i2}|\tau_{i1}) := N(\tau_{i1} + 1,1) \end{equation}\] Die Verteilung des True-Score von Person \(i\) in Testmessung \(j = 2\) hängt in diesem Beispiel also explizit von der Verteilung des wahren Werts von Person \(i\) in Testmessung \(j = 1\) ab. Weiterhin seien \[\begin{equation} \mathbb{P}(y_{i1}|\tau_{i1}) := N(\tau_{i1},1) \mbox{ und } \mathbb{P}(y_{i2}|\tau_{i2}) := N(\tau_{i2},2) \end{equation}\] Die Propensitätsverteilungen von Person \(i\) in Testmessung \(j = 1\) unterscheide sich also von der von Person \(i\) in Testmessung \(j = 2\). Folgender R Code generiert \(10^5\) Realisierungen dieses Modells und schätzt die in Theorem 50.3 betrachteten marginalen Kovarianzen \(\mathbb{C}(\varepsilon_{i1}, \varepsilon_{i2})\), \(\mathbb{C}(\tau_{i1}, \varepsilon_{i2})\), \(\mathbb{C}(y_{i1}, y_{i2})\) und \(\mathbb{C}(\tau_{i1}, \tau_{i2})\).
n = 1e5 # Personenanzahl
m = 2 # Testmessungsanzahl
mu = 1 # Wahrer Werte Erwartungswertparameter
T = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Wahrer Wert Array
Y = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Beobachteter Wert Array
E = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Messfehler Array
for(i in 1:n){ # Iteration über Personen
T[i,1] = rnorm(1,1,1) # Wahrer Wert Realisierung für j = 1
Y[i,1] = rnorm(1,T[i,1],1) # Beobachteter Wert Realisierung für j = 1
E[i,1] = Y[i,1] - T[i,1] # Messfehler Realisierung für j = 1
T[i,2] = rnorm(1,T[i,1] + 1,.5) # Wahrer Wert Realisierung für j = 2
Y[i,2] = rnorm(1,T[i,2],.5) # Beobachteter Wert Realisierung für j = 2
E[i,2] = Y[i,2] - T[i,2]} # Messfehler Realisierung für j = 2
c_hat_e1_e2 = cov(E[,1],E[,2]) # Kovarianzschätzung Messfehler 1, Messfehler 2
c_hat_t1_e2 = cov(T[,1],E[,2]) # Kovarianzschätzung Wahrer Wert 1, Messfehler 2
c_hat_y1_y2 = cov(Y[,1],Y[,2]) # Kovarianzschätzung Beobachteter Wert 1, Beobachteter Wert 2
c_hat_t1_t2 = cov(T[,1],T[,2]) # Kovarianzschätzung Wahrer Wert 1, Wahrer Wert 2Abbildung 50.2 visualisiert 500 der so generierten Zufallsvariablenrealisierungen und dokumentiert die resultierenden Kovarianzschätzer. Abbildung 50.2 A zeigt die marginale Unkorrelierheit der Messfehler bezüglich zweier Testmessungen (Aussage (2) von von Theorem 50.3), Abbildung 50.2 B zeigt die marginale Unkorrelierheit des wahren Wertes und des Messfehlers bezüglich zweier Testmessungen (Aussage (3) von von Theorem 50.3) und Abbildung 50.2 C und Abbildung 50.2 D zeigen die Gleichheit der marginalen Kovarianzen von beobachteten und wahren Werten bezüglich zweier Testmessungen.
50.1.2 Das Modell paralleler Testmessungen
Bisher haben wir im Modell der multiplen Testmessungen keine Aussage zu den Verhältnissen der wahren Werte über verschiedene Testmessungen hinweg gemacht. Wir haben einerseits angenommen, dass für die Marginalverteilung der Testmessungen bei einer Person \(i\) keine Unabhängigkeit gelten muss, dass also im Allgemeinen gilt, dass für \(i = 1,...,n\) \[\begin{equation}
\mathbb{P}(\tau_{i1},...,\tau_{im}) \neq \prod_{j=1}^m\mathbb{P}(\tau_{ij}).
\end{equation}\] Andererseits haben wir die Form möglicher Abhängigkeiten zwischen den wahren Werten \(\tau_{i1}, ..., \tau_{im}\) bislang nicht genauer spezifiziert. Die Klassische Testtheorie betrachtet in dieser Hinsicht einige Spezialfälle, die sich allgemein durch funktionale Abhängigkeiten zwischen \(\tau_{i1}\) und \(\tau_{i2},...,\tau_{im}\) der Form \[\begin{equation}
\tau_{ij} = f(\tau_{i1}) \mbox{ für } f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mbox{ und } j = 2,...,m.
\end{equation}\] ausdrücken lassen. Wir betrachten im Folgenden den Fall, dass \(f := \mbox{id}_{\mathbb{R}}\), dass also insbesondere für Realisierungen \(t_{ij}\) von \(\tau_{ij}\) gilt, dass \[\begin{equation}
t_{ij} = \mbox{id}_{\mathbb{R}}\left(t_{i1}\right) = t_{i1} \mbox{ für } j = 2,...,m,
\end{equation}\]
dass also die Werte der wahren Werte einer Person über Testmessungen identisch sind. Die Klassische Testtheorie bezeichnet solche Testmessungen als parallele Testmessungen. Eine weitere Form der funktionalen Abhängigkeit, die wir hier nicht weiter vertiefen wollen, ist der Fall, dass es sich bei \(f\) um eine linear-affine Funktion handelt, dass also \[\begin{equation}
\tau_{ij} = f(\tau_{i1}) = a\tau_{i1} + b \mbox{ für } a,b \in \mathbb{R} \mbox{ und } j = 2,...,m.
\end{equation}\] Die Klassische Testtheorie bezeichnet solche Testmessungen als wesentlich \(\tau\)-äquivalente Testmessungen.
Definition 50.4 (Modell paralleler Testmessungen) Für \(i = 1,...,n\) und \(j = 1,...,m\) seien \(\tau_{i}\) eine Zufallsvariable, die den wahren Wert der \(i\)ten Person in jeder Testmessung \(j = 1,...,m\) modelliere, \(y_{ij}\) eine Zufallsvariable, die den beobachteten Wert der \(i\)ten Person in der \(j\)ten Testmessung modelliere und \(\varepsilon_{ij} := y_{ij} -\tau_{i}\) die Zufallsvariable, die den Messfehlerder \(i\)ten Person in der \(j\)ten Testmessung modelliere. Dann heißt die gemeinsame Verteilung der \(\tau_{i}\) und \(y_{ij}\) mit den Faktorisierungseigenschaften \[\begin{equation} \mathbb{P}\left(\tau_{1},y_{11},...y_{1m}, ...,\tau_{n},y_{n1},...,y_{nm}\right) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_{i}) \prod_{j=1}^m \mathbb{P}(y_{ij}|\tau_{i}) \end{equation}\] das Modell paralleler Testmessungen, wenn gilt, dass
- \(\mathbb{P}(\tau_{1}) = \cdots = \mathbb{P}(\tau_{n})\)
- \(\mathbb{P}(y_{1j}|\tau_{1}) = \cdots = \mathbb{P}(y_{nj}|\tau_{n})\) für alle \(1 \le j \le m\)
- \(\mathbb{E}(y_{ij}\vert \tau_i = t_i) = \mathbb{E}(y_{ik}\vert \tau_i = t_i) := t_i\) für alle \(1 \le i \le n, 1 \le j,k \le m\)
- \(\mathbb{V}(y_{ij}\vert \tau_i = t_i) = \mathbb{V}(y_{ik}\vert \tau_i = t_i)\) für alle \(1 \le i \le n, 1 \le j,k \le m\)
Insbesondere werden also im Modell paralleler Testmessungen die Werte des wahren Werts einer Person werden über Testmessungen hinweg als identisch angenommen. Damit geht dann die Varianz der beobachteten Werte einer Person zwischen zwei Testmessungen allein auf die Propensitätsverteilung zurück. Aus generativer Sichtweise entstehen Werte der beobachteten Werte also wie folgt: Zunächst wird für die \(i\)te Person
und Testmessungen \(j = 1,...,m\) ein True-Score \(t_{i}\) von gemäß \(\mathbb{P}(\tau_{i})\) realisiert. Dann wird für die \(i\)te und die Testmessung \(j = 1,...,m\) ein Observed-Score \(y_{ij}\) anhand von \(\mathbb{P}(y_{ij}|\tau_{i} = t_{i})\) realisiert.
Eigenschaften des Modells paralleler Testmessungen
Betrachtet man nur eine einzige Testmessung, so hat das Modell paralleler Testmessungen natürlich die gleiche Form wie das Modell multipler Testmessungen. Damit gilt dann aber auch Theorem 50.1 analog für das Modell paralleler Testmessungen. Betrachtet man allerdings mehr als eine Testmessung, so ergeben sich für das Modell paralleler Testmessungen speziellere Eigenschaften, die wir in folgendem Theorem festhalten
Theorem 50.4 (Eigenschaften des Modells paralleler Testmessungen bezüglich zweier Testmessungen) Gegeben sei das Modell paralleler Testmessungen. Dann gelten für alle \(i = 1,...,n\) und alle \(j,k\) mit \(1 \le j,k \le m\) und \(j \neq k\), dass
- \(\mathbb{E}(y_{ij}) = \mathbb{E}(y_{ik})\)
- \(\mathbb{V}(y_{ij}) = \mathbb{V}(y_{ik})\)
- \(\mathbb{C}(\varepsilon_{ij},\varepsilon_{ik}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(\tau_{i},\varepsilon_{ik}) = 0\)
- \(\mathbb{C}(y_{ij},y_{ik}) = \mathbb{V}(\tau_{i})\)
Beweis. Zum Beweis setzen zur Vereinfachung der Notation zunächst \[\begin{equation} y_j := y_{ij}, y_k := y_{ik}, \tau := \tau_{i}, \tilde{y}_j := \tilde{y}_{ij}, \tilde{y}_k := \tilde{y}_{ik}, t := t_{i} , Y_j := Y_{ij}, Y_k := Y_{ik} \mbox{ und } T := T_{i} \end{equation}\] für alle \(i = 1,...,n\). Wir betrachten weiterhin nur den diskreten Fall, setzen also die Existenz einer Wahrscheinlichkeitsmassefunktion der Form \[\begin{equation} p(t,\tilde{y}_j,\tilde{y}_k) = p(\tilde{y}_j|t)p(\tilde{y}_k|t)p(t) \end{equation}\] voraus. Der kontinuierliche Fall folgt dann analog.
(1) Mit der Gleichheit der bedingten Erwartungswerte im Falle paralleler Testmessungen gilt \[\begin{equation} \mathbb{E}(y_{j}) = \sum_{t \in T}\sum_{\tilde{y}_j \in Y_j}\tilde{y}_j p(\tilde{y}_j|t)p(t) = \sum_{t \in T}\mathbb{E}(y_{j}\vert \tau = t)p(t) = \sum_{t \in T}\sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}\tilde{y}_k p(\tilde{y}_k|t)p(t) = \mathbb{E}(y_{k}). \end{equation}\]
(2) Mit dem Satz von der iterierten Varianz (Theorem 24.8) gilt \[\begin{equation} \mathbb{V}(y_{j}) = \mathbb{V}\left(\mathbb{E}(y_j\vert \tau)\right) + \mathbb{E}\left(\mathbb{V}(y_j\vert \tau)\right) = \mathbb{V}\left(\mathbb{E}(y_k\vert \tau)\right) + \mathbb{E}\left(\mathbb{V}(y_k\vert \tau)\right) = \mathbb{V}(y_{k}). \end{equation}\]
(3) Wir bestimmen zunächst \(\mathbb{E}(\varepsilon_j\varepsilon_k)\). Mit Aussage (2) von Theorem 50.1 gilt dann \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{E}(\varepsilon_j\varepsilon_k) & := \mathbb{E}((y_j - \tau)(y_k - \tau)) \\ & = \sum_{t \in T} \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}(\tilde{y}_j - t)(\tilde{y}_k - t) p(t) p(\tilde{y}_j|t)p(\tilde{y}_k|t) \\ & = \sum_{t \in T} p(t) \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}(\tilde{y}_j - t)(\tilde{y}_k - t) p(\tilde{y}_j|t)p(\tilde{y}_k|t) \\ & = \sum_{t \in T} p(t) \sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} (\tilde{y}_j - t) p(\tilde{y}_j|t) \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}(\tilde{y}_k - t) p(\tilde{y}_k|t) \\ & = \sum_{t \in T} p(t) \left(\sum_{\tilde{y}_j \in Y_j} \tilde{y}_j p(\tilde{y}_j|t) - t\sum_{\tilde{y}_j \in Y_j}p(\tilde{y}_j|t)\right) \left(\sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}\tilde{y}_k p(\tilde{y}_k|t) - t\sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}p(\tilde{y}_k|t)\right) \\ & = \sum_{t \in T} p(t)\left(t-t\right)\left(t-t\right) \\ & = \sum_{t \in T} p(t)\cdot 0 \cdot 0 \\ & = 0. \\ \end{split} \end{align}\] Mit dem Kovarianzverschiebungssatz (Theorem 25.2) und wiederrum mit Aussage (2) von Theorem 50.1 folgt dann \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{C}(\varepsilon_j,\varepsilon_k) = \mathbb{E}(\varepsilon_j\varepsilon_k) - \mathbb{E}(\varepsilon_j)\mathbb{E}(\varepsilon_k) = 0 - 0\cdot 0 = 0 \end{split} \end{align}\] (4) Mit dem Kovarianzverschiebungssatz (Theorem 25.2) und Aussage (2) von Theorem 50.1 gilt \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{C}(\tau,\varepsilon_k) & = \mathbb{E}(\tau\varepsilon_k) - \mathbb{E}(\tau)\mathbb{E}(\varepsilon_k) \\ & = \mathbb{E}(\tau\varepsilon_k) - \mathbb{E}(\tau)\cdot 0 \\ & = \mathbb{E}(\tau(y_k - \tau)) \\ & = \sum_{t \in T} \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k} t(\tilde{y}_k - t) p(t)p(\tilde{y}_k|t) \\ & = \sum_{t \in T} t p(t) \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}(\tilde{y}_k - t) p(\tilde{y}_k|t) \\ & = \sum_{t \in T} t p(t) \left(\sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}\tilde{y}_k p(\tilde{y}_k|t) - t \sum_{\tilde{y}_k \in Y_k}p(\tilde{y}_k|t)\right)\\ & = \sum_{t \in T} t p(t) \left(t - t\right)\\ & = \sum_{t \in T} t p(t) \cdot 0\\ & = 0. \\ \end{split} \end{align}\]
(5) Wir halten zunächst fest, dass mit Aussage (2) des Theorems neben \(\mathbb{C}(\tau,\varepsilon_k)=0\) durch Austausch des Index und der Symmetrie der Kovarianz auch \[\begin{equation} \mathbb{C}(\tau,\varepsilon_j) = \mathbb{C}(\varepsilon_j, \tau) = 0 \end{equation}\] gilt. Mit dem Theorem zur Kovarianz bei paarweiser Addition von Zufallsvariablen (Theorem 25.5) und Aussagen (3) und (4) des vorliegenden Theorems gilt dann \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{C}(y_j,y_k) & = \mathbb{C}(\tau + \varepsilon_j,\tau + \varepsilon_k) \\ & = \mathbb{C}(\tau ,\tau) + \mathbb{C}(\tau ,\varepsilon_k) + \mathbb{C}(\varepsilon_j,\tau) + \mathbb{C}(\varepsilon_j,\varepsilon_k) \\ & = \mathbb{C}(\tau,\tau) + 0 + 0 + 0 \\ & = \mathbb{C}(\tau,\tau) \\ & = \mathbb{V}(\tau). \end{split} \end{align}\]
Aussage (1) von Theorem 50.4 besagt, dass bei Paralleltestmessungen alle Erwartungswerte der beobachteten Werte identisch sind und Aussage (2) des Theorems besagt, dass bei Paralleltestmessungen alle Varianzen der beobachteten Werte identisch sind. Die Aussagen (3) und (4) von Theorem 50.4 sind analog zu den lokalen Unkorreliertheitseigenschaften des Modells multipler Testmessungen. Aussage (5) schließlich besagt insbesondere, dass \(\mathbb{C}(y_{ij},y_{ik})\) für beliebe \(j\) und \(k\) identisch zu \(\mathbb{V}(\tau_{i})\) sind. Zusammen mit Aussage (2) des Theorems sind im Modell paralleler Testmessungen also alle paarweisen Korrelationen verschiedener Testmessungen identisch.
Beispiel
Wir betrachten den Fall zweier Testmessungen \(j = 1,2\) im Modell paralleler Testmessungen. Für \(i = 1,...,n\) seien \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{i}) = N(1,1) \mbox{ und } \mathbb{P}(y_{i1}|\tau_{i}) := \mathbb{P}(y_{i2}|\tau_{i}) := N(\tau_{i},1) \end{equation}\] Für Person \(i\) gibt es also nur eine True-Score Zufallsvariable für alle Testmessungen und die Propensitätsverteilungen unterscheiden sich zwischen Testmessungen nicht.
n = 1e5 # Personenanzahl
m = 2 # Testmessungsanzahl
T = matrix(rep(NaN, n) , nrow = n) # Wahrer Wert Array
Y = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Beobachteter Wert Array
E = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Messfehler Array
for(i in 1:n){ # Personeniterationen
T[i] = rnorm(1,1,1) # Wahrer Wert Realisierung für j = 1,2
for(j in 1:m){ # Testmessungsiterationen
Y[i,j] = rnorm(1,T[i],1) # Beobachteter Wert Realisierung f
E[i,j] = Y[i,j] - T[i]}} # Messfehler Realisierung
e_hat_o1_o2 = apply(Y, 2, mean) # Erwartungswertschätzung Beobachteter Wert 1, Beobachteter Wert 2
v_hat_o1_o2 = apply(Y, 2, var) # Varianzzschätzung Beobachteter Wert 1, Beobachteter Wert 2
c_hat_e1_e2 = cov(E[,1],E[,2]) # Kovarianzzschätzung Messfehler 1, Messfehler 2
c_hat_t_e2 = cov(T ,E[,2]) # Kovarianzzschätzung Wahrer Wert 1, Messfehler 2
c_hat_y1_y2 = cov(Y[,1],Y[,2]) # Kovarianzzschätzung Beobachteter Wert 1, Beobachteter Wert 2
v_hat_t = var(T) # Varianzschätzung Wahrer Wert Abbildung 50.3 visualisiert 500 der so generierten Zufallsvariablenrealisierungen und dokumentiert die resultierenden Kovarianzschätzer. Abbildung 50.3 A zeigt die Unkorrelierheit der Messfehler bezüglich zweier paralleler Testmessungen (Aussage (3) von von Theorem 50.4), Abbildung 50.3 B zeigt die Unkorrelierheit des wahren Wertes und des Messfehlers bezüglich zweier paralleler Testmessungen (Aussage (4) von Theorem 50.4) und Abbildung 50.3 C zeigt die durch die identischen wahren Werte induzierte Korrelation zwischen den marginalen Kovarianzen der beobachteten Werten zweier paralleler Testmessungen.
50.2 Reliabilität
Die Reliabilität einesr Testmessung ist das zentrale Konzept der Klassischen Testtheorie. Wir folgen hier dem Ansatz nach Lord & Novick (1968), wonach die Reliabilität einer Testmessung als quadrierte Korrelation von beobachtetem und wahrem Wert definiert ist. Basierend auf den Eigenschaften des Modells multipler Testmessungen ergeben sich dann verschiedene Möglichkeiten, diese Korrelation darzustellen und damit verschiedene Möglichkeiten, die Reliabilität einer Testmessung zu interpretieren. Allerdings ergibt sich dabei keine Möglichkeit, die Reliabilität von Testmessungen empirisch zu messen. Zentral ist dann die Übertragung des Konzepts der Reliabilität in das Modell paralleler Testmessungen. Die so definierte Paralleltestreliabilität ist dann empirisch schätzbar.
50.2.1 Reliabilität einer Testmessung
Wir beginnen zunächst mit der Definition der Reliabilität einer Testmessung im Modell multipler Testmessungen.
Definition 50.5 (Reliabilität einer Testmessung) Gegeben sei das Modell multipler Testmessungen für eine beliebige Testmessung \(j\) mit \(1 \le j \le m\), \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{1j},y_{1j} ..., \tau_{nj}, y_{nj}) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_{ij},y_{ij}) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(y_{ij}|\tau_{ij})\mathbb{P}(\tau_{ij}) \end{equation}\] wobei nach Definition des Modells gilt, dass \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{1j},y_{1j}) = \cdots = \mathbb{P}(\tau_{nj},y_{nj}). \end{equation}\] Die Reliabilität der Testmessung \(j\) ist dann definiert als \[\begin{equation} \mbox{R}_j := \rho(y_{ij},\tau_{ij})^2 \mbox{ für ein beliebiges } 1 \le i \le n. \end{equation}\]
Vor dem Hintergrund des vereinfachen Modells der Klassischen Testtheorie Definition 50.3 schreibt man auch \[\begin{equation}
\mbox{R} = \rho(y,\tau)^2.
\end{equation}\] Per Definition ist die Reliabilität eine Testmessung also die quadrierte Korrelation von beobachtetem und wahrem Wert. Mit
\[\begin{equation}
-1 \le \rho(y_{ij},\tau_{ij})\le 1
\end{equation}\] folgt direkt, dass für die Reliabilität einer Testmessung gilt, dass \[\begin{equation}
0 \le \mbox{R}_j \le 1
\end{equation}\] Die Aussage \(\mbox{R}_j = 0\) impliziert dann \(\rho(y_{ij},\tau_{ij}) = 0\), also die linear-affine Unabhängigkeit von beobachtetem und wahrem Wert, und damit den Umstand, dass der beobachtete Wert hinsichtlich des wahren Werts nicht aussagekräftig ist. \(\mbox{R}_j= 1\) dagegen impliziert \(\rho(y_{ij},\tau_{ij}) = \pm 1\), also die deterministische linear-affine Abhängigkeit von beobachtetem und wahrem Wert und damit, dass der beobachtete Wert hinsichtlich des wahren Werts vollständig aussagekräftig ist.
Folgendes Theorem zeigt weitere Möglichkeiten auf, die Reliabilität einer Testmessung äquivalent zu formulieren und damit zu interpretieren.
Theorem 50.5 (Eigenschaften der Reliabilität einer Testmessung) Gegeben sei das Modell multipler Testmessungen für eine beliebige Testmessung \(j\) mit \(1 \le j \le m\), \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{1j},y_{nj} ..., \tau_{nj}, y_{nj}) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(y_{ij}|\tau_{ij})\mathbb{P}(\tau_{ij}). \end{equation}\] Dann gelten für die Reliabilät \(\mbox{R}_j\) der Testmessung \(j\), dass
- \(\mbox{R}_j = \frac{\mathbb{V}(\tau_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})}\)
- \(\mbox{R}_j = 1 - \frac{\mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})}\)
Beweis. (1) Mit Aussage (5) von Theorem 50.1 gilt
\[\begin{equation}
\mbox{R}_j
= \rho(y_{ij},\tau_{ij})^2
= \left(\frac{\mathbb{C}(y_{ij},\tau_{ij})}{\mathbb{S}(y_{ij})\mathbb{S}(\tau_{ij})}\right)^2
= \frac{\mathbb{C}(y_{ij},\tau_{ij})^2}{\mathbb{V}(y_{ij})\mathbb{V}(\tau_{ij})}
= \frac{\mathbb{V}(\tau_{ij})^2}{\mathbb{V}(y_{ij})\mathbb{V}(\tau_{ij})}
= \frac{\mathbb{V}(\tau_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})}.
\end{equation}\]
(2) Mit Aussage (4) von Theorem 50.1 gilt dann weiter \[\begin{equation} \mbox{R}_j = \frac{\mathbb{V}(\tau_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})} = \frac{\mathbb{V}(y_{ij})-\mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})} = \frac{\mathbb{V}(y_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})} - \frac{\mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})} = 1 - \frac{\mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})}. \end{equation}\]
Da \(\tau_{ij}\) und \(\varepsilon_{ij}\) weiterhin latent und damit nur indirekt beobachtbar sind, sind die Darstellungen nach Theorem 50.5 nur von theoretischem Interesse. Die erste Aussage besagt dabei insbesondere, dass die Reliabilität einer Testmessung der Anteil der Varianz der wahren Werte an der Varianz der beobachteten Werte ist, \[\begin{equation} \mbox{R}_j = \frac{\mathbb{V}(\tau_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})} = \frac{\mathbb{V}(\tau_{ij})}{\mathbb{V}(\tau_{ij}) + \mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}. \end{equation}\] Gilt dabei, dass \(\mathbb{V}(\tau_{ij}) = 0\), so ist auch \(\mbox{R}_j = 0\), ist dagegen \(\mathbb{V}(\varepsilon_{ij}) = 0\) so ist \(\mbox{R}_j = 1\). Eine Reliabilität \(\mbox{R}_j > 0\) impliziert also immer eine von Null verschiedene Varianz der wahren Werte.
50.2.2 Paralletestreliabilität
Um das Konzept der Reliabilität nun anhand empirischer Daten von beobachteten Werten schätzbar zu machen, bedarf es seiner Übertragung in das Modell paralleler Testmessungen. Wir definieren daher zunächst explizit die Reliabilität einer Paralleltestmessung.
Definition 50.6 (Reliabilität einer Paralleltestmessung) Gegeben sei das Modell paralleler Testmessungen für eine beliebige Testmessung \(j\) mit \(1 \le j \le m\), \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{1},y_{1j} ..., \tau_{n},y_{nj}) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_i, y_{ij}) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_i)\mathbb{P}(y_{ij}|\tau_i) \end{equation}\] wobei nach Definition des Modells gilt, dass \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{1},y_{1j}) = \cdots = \mathbb{P}(\tau_{n},y_{nj}). \end{equation}\] Die Reliabilität der Paralleltestmessung \(j\) ist dann definiert als \[\begin{equation} \mbox{R}_j := \rho(y_{ij},\tau_{i})^2 \mbox{ für ein beliebiges } 1 \le i \le n. \end{equation}\]
Vor dem Hintergrund des vereinfachten Modells der Klassischen Testtheorie (Definition 50.3) schreibt man auch hier \[\begin{equation} \mbox{R}=\rho(y,\tau)^2. \end{equation}\] Praktisch bedeutsam ist nun folgendes Theorem.
Theorem 50.6 (Paralleltestreliabilität) Gegeben sei das Modell paralleler Testmessungen \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{1},y_{1j} ..., \tau_{n},y_{nj}) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_i, y_{ij}) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_i)\mathbb{P}(y_{ij}|\tau_i) \end{equation}\] Dann gelten
- \(\mbox{R}_j = \frac{\mathbb{V}(\tau_{i})}{\mathbb{V}(y_{ij})}\) für alle \(1 \le j \le m\).
- \(\mbox{R}_j = 1 - \frac{\mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})}\) für alle \(1 \le j \le m\).
- \(\mbox{R}_j = \rho(y_{ij},y_{ik}) = \mbox{R}_k\) für alle \(1 \le j,k \le m\).
Beweis. (1) Mit Aussage (5) von Theorem 50.1 gilt
\[\begin{equation}
\mbox{R}_j
= \rho(y_{ij},\tau_{i})^2
= \left(\frac{\mathbb{C}(y_{ij},\tau_{i})}{\mathbb{S}(y_{ij})\mathbb{S}(\tau_{i})}\right)^2
= \frac{\mathbb{C}(y_{ij},\tau_{i})^2}{\mathbb{V}(y_{ij})\mathbb{V}(\tau_{i})}
= \frac{\mathbb{V}(\tau_{i})^2}{\mathbb{V}(y_{ij})\mathbb{V}(\tau_{i})}
= \frac{\mathbb{V}(\tau_{i})}{\mathbb{V}(y_{ij})}.
\end{equation}\] (2) Mit Aussage (4) von Theorem 50.1 gilt dann weiter \[\begin{equation}
\mbox{R}_j
= \frac{\mathbb{V}(\tau_{i})}{\mathbb{V}(y_{ij})}
= \frac{\mathbb{V}(y_{ij})-\mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})}
= \frac{\mathbb{V}(y_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})} - \frac{\mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})}
= 1 - \frac{\mathbb{V}(\varepsilon_{ij})}{\mathbb{V}(y_{ij})}.
\end{equation}\] (3) Mit Aussagen (2) und (5) von Theorem 50.3 gilt dann weiter \[\begin{equation}
\mbox{R}_j
= \frac{\mathbb{V}(\tau_{i})}{\mathbb{V}(y_{ij})}
= \frac{\mathbb{C}(y_{ij},y_{ik})}{\sqrt{\mathbb{V}(y_{ij})}\sqrt{\mathbb{V}(y_{ij})}}
= \frac{\mathbb{C}(y_{ij},y_{ik})}{\sqrt{\mathbb{V}(y_{ij})}\sqrt{\mathbb{V}(y_{ik})}}
= \rho(y_{ij},y_{ik})
\end{equation}\] und dass ebenso \[\begin{equation}
\mbox{R}_k
= \frac{\mathbb{V}(\tau_{i})}{\mathbb{V}(y_{ik})}
= \frac{\mathbb{C}(y_{ij},y_{ik})}{\sqrt{\mathbb{V}(y_{ik})}\sqrt{\mathbb{V}(y_{ik})}}
= \frac{\mathbb{C}(y_{ij},y_{ik})}{\sqrt{\mathbb{V}(y_{ij})}\sqrt{\mathbb{V}(y_{ik})}}
= \rho(y_{ij},y_{ik}).
\end{equation}\]
Aussagen (1) und (2) von Theorem 50.6 sind analog zu den Aussagen von Theorem 50.5. Aussage (3) von Theorem 50.6 begründet das praktische Vorgehen zur Reliabilitätsschätzung mithilfe von Parallel- oder Retestverfahren. Zur Bestimmung der Reliabilität eines Tests nutzt man entspreched eine Schätzung der Korrelation zweier paralleler Testmessungen und die Klassische Testtheorie begründet dieses Vorgehen vor der Annahme von von latenten wahren Werten und Messfehlern. Vereinfacht wird Aussage (3) von Theorem 50.6 oft dadurch ausgedrückt, dass man sagt, dass “die Korrelation paralleler Testmessungen gleich ihrer Reliabilität ist”.
Beispiel
Wir betrachten den Fall zweier Testmessungen \(j = 1,2\) im Modell paralleler Testmessungen. Für alle \(i = 1,...,n\) seien, wobei wir der notationellen Einfachheit halber auf das \(i\) Subskript verzichten wollen, \[\begin{equation} p(t) = N(t; 0,\sigma_\tau^2) \mbox{ und } p(\tilde{y}_1|t) := N(\tilde{y}_1; t,\sigma_{\varepsilon}^2) \mbox{ und } p(\tilde{y}_2|t) := N(\tilde{y}_2; t,\sigma_{\varepsilon}^2) \end{equation}\] Für Person \(i\) gibt es also nur eine Zufallsvariabl für den wahren Wert für alle Testmessungen und die Propensitätsverteilungen unterscheiden sich zwischen Testmessungen nicht. Dann gilt zunächst mit dem Theorem zu gemeinsamen Normalverteilungen (Theorem 29.5) mit \(A := 1\) und \(b := 0\) \[\begin{equation} p(t)p(\tilde{y}_1|t) = p(t,\tilde{y}_1) = N\left( \begin{pmatrix} t \\ \tilde{y}_1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} \mu_{\tau} \\ \mu_\tau \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_{\tau}^2 & \sigma_{\tau}^2 \\ \sigma_{\tau}^2 & \sigma_{\tau}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2 \end{pmatrix} \right) \end{equation}\] und weiterhin mit \(A := \begin{pmatrix} 1 & 0\end{pmatrix}\) und \(b := 0\) \[\begin{equation} p(t,\tilde{y}_1)p(\tilde{y}_2|t) = p(t,\tilde{y}_1,\tilde{y}_2) = N\left( \begin{pmatrix} t \\ \tilde{y}_1 \\ \tilde{y}_2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} \mu_\tau \\ \mu_\tau \\ \mu_\tau \\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \sigma_{\tau}^2 & \sigma_{\tau}^2 & \sigma_{\tau}^2 \\ \sigma_{\tau}^2 & \sigma_{\tau}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2 & \sigma_{\tau}^2 \\ \sigma_{\tau}^2 & \sigma_{\tau}^2 & \sigma_{\tau}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2 \end{pmatrix} \right) \end{equation}\] Damit gilt dann durch Ablesen am Kovarianzmatrixparameter von \(p(t,\tilde{y}_1,\tilde{y}_2)\), dass \[\begin{equation} \rho(y_1, y_2) = \frac{\mathbb{C}(y_1, y_2)}{\sqrt{\mathbb{V}(y_1)}\sqrt{\mathbb{V}(y_2)}} = \frac{\sigma_{\tau}^2}{\sqrt{\sigma_{\tau}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2}\sqrt{\sigma_{\tau}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2}} = \frac{\sigma_{\tau}^2}{\sigma_{\tau}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2}. \end{equation}\] Insbesondere gilt also auch für \(j = 1,2\) \[\begin{equation} \mbox{R}_j = \rho(y_j,\tau)^2 = \left(\frac{\mathbb{C}(y_j,\tau)}{\mathbb{S}(y_j)\mathbb{S}(\tau)}\right)^2 = \frac{\mathbb{C}(y_j,\tau)^2}{\mathbb{V}(y_j)\mathbb{V}(\tau)} = \frac{\left(\sigma_\tau^2\right)^2}{(\sigma_{\tau}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2)\sigma_\tau^2} = \frac{\sigma_\tau^2}{\sigma_{\tau}^2 + \sigma_{\varepsilon}^2} = \rho(y_1, y_2). \end{equation}\] Gilt also beispielsweise \(\sigma_{\tau}^2 := 1.0\) und \(\sigma_{\varepsilon}^2 := 0.2\), so ergibt sich für die Paralleltestreliabilität \[\begin{equation} \mbox{R}_j = \rho(y_j,\tau)^2 = \rho(y_1, y_2) = \frac{1.0}{1.0 + 0.2} \approx 0.83. \end{equation}\]
50.2.3 Schätzung der Paralleltestreliabilität
Wie üblich wird die Korrelation zweier paralleler Testmessungen in der Anwendung durch eine Stichprobenkorrelation geschätzt. Wir formulieren dies für das vorliegende Szenario mithilfe folgender Definition.
Definition 50.7 (Paralleltestreliabilitätsschätzer) Gegeben sei das Modell paralleler Testmessungen für \(n\) Personen und zwei Testmessungen \(j = 1,2\), \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_1,y_{11},y_{12},...,\tau_n,y_{n1},y_{n2}) = \prod_{i=1}^n\mathbb{P}(\tau_i)\mathbb{P}(y_{i1}|\tau_i)\mathbb{P}(y_{i2}|\tau_i). \end{equation}\] Dann wird der mit den Stichprobenmitteln \[\begin{equation} \bar{y}_1 := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_{i1} \mbox{ und } \bar{y}_2 := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_{i2} \end{equation}\] definierte Stichprobenkorrelationskoeffizient \[\begin{equation} r_{12}:= \frac{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(y_{i1} - \bar{y}_1)(y_{i2} - \bar{y}_2)}{\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_{i1} - \bar{y}_1)^2}\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (y_{i2} - \bar{y}_2)^2}} \end{equation}\] Paralleltestreliabilitätsschätzer genannt.
Beispiel
Bekanntlich bietet R mit der cor() Funktion eine Möglichkeit, Stichprobenkorrelationskoeffizienten zu berechnen. Wir demonstrieren dies an einem Simulationsbeispiel. Dazu seien \[\begin{equation}
p(t_i) = N(t_i; 0,\sigma_\tau^2)
\mbox{ und }
p(y_{ij}|t_i) := N(y_{ij}; t_i,\sigma_{\varepsilon}^2)
\end{equation}\] für \(j = 1,2\) mit \(\sigma_\tau^2 := 1.0\) und \(\sigma_{\varepsilon}^2 := 0.2\) für \(i = 1,...,30\). Die wahre, aber unbekannte, Paralleltestreliabilität ergibt sich hier zu \[\begin{equation}
R_{12} = \frac{1.0}{1.0 + 0.2} \approx 0.833.
\end{equation}\] Anhand von \(n = 30\) simulierten Datenpunkten wird diese in folgender Simulation als \(r_{12} = 0.857\) geschätzt.
set.seed(1)
n = 30 # Personenanzahl
m = 2 # Testmessungsanzahl
sigsqr_tau = 1 # Wahrer Wert Varianz
sigsqr_eps = .2 # Beobachteter Wert Varianz
R_12 = sigsqr_tau/(sigsqr_tau+sigsqr_eps) # Paralletestreliabilität
T = matrix(rep(NaN, n) , nrow = n) # Wahrer Wert Array
Y = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Beobachteter Wert Array
E = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Messfehler Array
for(i in 1:n){ # Personeniterationen
T[i] = rnorm(1,1,sqrt(sigsqr_tau)) # Wahrer Wert Realisierung für j = 1,2
for(j in 1:m){ # Testmessungsiterationen
Y[i,j] = rnorm(1,T[i],sqrt(sigsqr_eps)) # Beobachteter Wert Realisierung
E[i,j] = Y[i,j] - T[i]}} # Messfehler Realisierung
r_12 = cor(Y[,1],Y[,2]) # Paralleltestreliabilitätsschätzer
cat("Paralleltestreliabilität R_12 : ", round(R_12,4), # Ausgabe w.a.u. Paralleltestreliabilität
"\nParalleltestrelibabilitätsschätzer r_12 : ", round(r_12,4)) # Ausgabe geschätzte ParalleltestreliabilitätParalleltestreliabilität R_12 : 0.8333
Paralleltestrelibabilitätsschätzer r_12 : 0.8569Um neben einem Punktschätzer auch ein Konfidenzintervall für die Paralleltestreliabilät anzugeben, ist eine Annahme zur empirischen Verteilung des Reliabilitätsschätzers erforderlich. Dazu nutzt man üblicherweise folgende Aussage zur asymptotischen Verteilung einer Stichprobenkorrelation.
Theorem 50.7 (Approximative Verteilung der Fishertransformation einer Stichprobenkorrelation) Gegeben sei eine Stichprobe \((y_{11},y_{12}),...,(y_{n1},y_{n2}) \sim \mathbb{P}(y_1,y_2)\) von Beobachtungen zweier Zufallsvariablen \(y_1\) und \(y_2\) mit Korrelation \(\rho := \rho(y_1,y_2)\) und Stichprobenkorrelation \(r\). Weiterhin bezeichne \[\begin{equation} \tilde{r} := \frac{1}{2} \ln \left(\frac{1 + r}{1 - r} \right) \end{equation}\] die Fishertransformation von \(r\). Dann ist \(\tilde{r}\) asymptotisch normalverteilt mit \[\begin{equation} \tilde{r} \stackrel{a}{\sim} N\left(\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right), (n-3)^{-1} \right). \end{equation}\]
Wir verzichten auf einen Beweis von Theorem 50.7 und verweisen für eine ausführliche Darstellung auf Kapitel 32 in Johnson et al. (1994). Theorem 50.7 bildet die Grundlage zur Konstruktion des in folgendem Theorem angegebenen approximativen Konfidenzintervalls für eine Korrelation.
Theorem 50.8 (Approximatives Konfidenzintervall einer Korrelation) Gegeben sei eine Stichprobe \((y_{11},y_{12}),...,(y_{n1},y_{n2}) \sim \mathbb{P}(y_1,y_2)\) von Beobachtungen zweier Zufallsvariablen \(y_1\) und \(y_2\) mit Korrelation \(\rho\), Stichprobenkorrelation \(r\) und Fishertransformation \(\tilde{r}\). Ferner sei \(\delta \in ]0,1[\) ein Konfidenzlevel und es sei \[\begin{equation} z_\delta := \phi^{-1}\left(\frac{1+\delta}{2}\right) \end{equation}\] mit der inversen KVF \(\phi^{-1}\) einer standardnormalverteilten Zufallsvariable. Schließlich seien \[\begin{equation} \tilde{r}_u := \tilde{r} - z_\delta\left(\sqrt{n - 3}\right)^{-1} \mbox{ und } \tilde{r}_o := \tilde{r} + z_\delta\left(\sqrt{n - 3}\right)^{-1}. \end{equation}\] Dann gilt für \(n \to \infty\) für das Intervall \[\begin{equation} \kappa(r) := \left[ \frac{\exp(2\tilde{r}_u)- 1}{\exp(2\tilde{r}_u) + 1}, \frac{\exp(2\tilde{r}_o)- 1}{\exp(2\tilde{r}_o) + 1} \right], \end{equation}\] dass \[\begin{equation} \mathbb{P}_{\rho}\left(\kappa(r) \ni \rho \right) = \delta. \end{equation}\]
Beweis. Mit Theorem 50.7 gilt durch \(Z\)-Transformation von \(r\) zunächst für \(n \to \infty\), dass \[\begin{equation} \tilde{r}_z := \left(\tilde{r} - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)\right)\sqrt{(n-3)} \stackrel{a}{\sim} N(0,1) \end{equation}\] und damit asymptotisch, dass \[\begin{equation} \mathbb{P}(-z_\delta \le \tilde{r}_z \le z_\delta) = \delta. \end{equation}\] Also gilt asymptotisch auch, dass \[\begin{align} \begin{split} \delta & =\mathbb{P}\left(-z_\delta \le \tilde{r}_z \le z_\delta\right) \\ & = \mathbb{P}\left(-z_\delta \le \left(\tilde{r} - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)\right)\sqrt{(n-3)} \le z_\delta\right) \\ & = \mathbb{P}\left(-z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1} \le \tilde{r} - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right) \le z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1}\right) \\ & = \mathbb{P}\left(-z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1}-\tilde{r} \le - \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right) \le z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1}\right) - \tilde{r} \\ & = \mathbb{P}\left(\tilde{r} + z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1} \ge \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right) \ge \tilde{r} - z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1}\right) \\ & = \mathbb{P}\left(2\left(\tilde{r} + z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1}\right) \ge \ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right) \ge 2\left(\tilde{r} - z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1}\right)\right) \\ & = \mathbb{P}\left(2\left(\tilde{r} - z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1}\right) \le \ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right) \le 2\left(z_\delta\left(\sqrt{(n-3)}\right)^{-1}+\tilde{r}\right) \right) \\ & = \mathbb{P}\left(2\tilde{r}_u \le \ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right) \le 2\tilde{r}_o \right) \\ & = \mathbb{P}\left(\exp\left(2\tilde{r}_u\right) \le \frac{1+\rho}{1-\rho} \le \exp\left(2\tilde{r}_o\right) \right) \\ & = \mathbb{P}\left(\exp\left(2\tilde{r}_u\right)(1-\rho) \le 1+\rho \le \exp\left(2\tilde{r}_o\right)(1-\rho) \right) \\ & = \mathbb{P}\left(\exp\left(2\tilde{r}_u\right) - \exp\left(2\tilde{r}_u\right)\rho \le 1+\rho \le \exp\left(2\tilde{r}_o\right)-\exp\left(2\tilde{r}_o\right)\rho \right) \\ & = \mathbb{P}\left(\exp\left(2\tilde{r}_u\right) - \exp\left(2\tilde{r}_u\right)\rho - 1 \le \rho \le \exp\left(2\tilde{r}_o\right)-\exp\left(2\tilde{r}_o\right)\rho - 1 \right). \\ \end{split} \end{align}\] Weiterhin gilt aber \[\begin{align} \begin{split} \exp\left(2\tilde{r}_u\right) - \exp\left(2\tilde{r}_u\right)\rho - 1 & \le \rho \\\Leftrightarrow \exp\left(2\tilde{r}_u\right) - 1 & \le \exp\left(2\tilde{r}_u\right)\rho + \rho \\\Leftrightarrow \exp\left(2\tilde{r}_u\right) - 1 & \le \left(\exp\left(2\tilde{r}_u\right) +1 \right)\rho \\\Leftrightarrow \frac{\exp\left(2\tilde{r}_u\right) - 1}{\exp\left(2\tilde{r}_u\right) +1} & \le \rho, \end{split} \end{align}\] also \[\begin{equation} \delta = \mathbb{P}\left(\frac{\exp\left(2\tilde{r}_u\right) - 1}{\exp\left(2\tilde{r}_u\right) +1} \le \rho \le \exp\left(2\tilde{r}_o\right)-\exp\left(2\tilde{r}_o\right)\rho - 1\right). \end{equation}\]
Analog gilt \[\begin{align}
\begin{split}
\rho & \le \exp\left(2\tilde{r}_o\right)-\exp\left(2\tilde{r}_o\right)\rho - 1
\\\Leftrightarrow
\exp\left(2\tilde{r}_o\right)\rho + \rho & \le \exp\left(2\tilde{r}_o\right)
\\\Leftrightarrow
\left(\exp\left(2\tilde{r}_o\right) + 1\right)\rho & \le \exp\left(2\tilde{r}_o\right) - 1
\\\Leftrightarrow
\rho & \le \frac{\exp\left(2\tilde{r}_o\right) - 1}{\exp\left(2\tilde{r}_o\right) +1}
\end{split}
\end{align}\]
und damit schließlich \[\begin{align}
\begin{split}
\delta & =
\mathbb{P}\left(\frac{\exp\left(2\tilde{r}_u\right) - 1}{\exp\left(2\tilde{r}_u\right) +1 }
\le \rho \le
\frac{\exp\left(2\tilde{r}_o\right) - 1}{\exp\left(2\tilde{r}_o\right) +1} \right)
\\
& = \mathbb{P}
\left(
\left[
\frac{\exp(2\tilde{r}_u)- 1}{\exp(2\tilde{r}_u) + 1},
\frac{\exp(2\tilde{r}_o)- 1}{\exp(2\tilde{r}_o) + 1}
\right] \ni \rho
\right)
\\
& = \mathbb{P}_\rho\left(\kappa(r) \ni \rho \right).
\end{split}
\end{align}\]
Beispiel
Wir demonstrieren Theorem 50.7 und Theorem 50.8 mithilfe eines Simulationsbeispiels. Dazu seien wie oben für \(i = 1,...,30\) \[\begin{equation} p(t_i) := N(t_i; 0,\sigma_\tau^2) \mbox{ und } p(y_{ij}|t_i) := N(y_{ij}; t_i,\sigma_{\varepsilon}^2) \end{equation}\] für \(j = 1,2\) mit \(\sigma_\tau^2 := 1.0\) und \(\sigma_{\varepsilon}^2 := 0.2\). Folgender R Code generiert \(10^5\) Datensätze dieses Modells und evaluiert die entsprechenden Fisher-transformierten Stichprobenkorrelationen und Konfidenzintervalle für ein Konfidenzlevel von \(\delta = 0.95\). Abbildung 50.4 A zeigt den Vergleich zwischen der so empirisch generierten Frequentistischen Verteilung der Fisher-transformierten Stichprobenkorrelationen und Abbildung 50.4 B zeigt die ersten 100 simulierten Konfidenzintervalle der Korrelation. In der vorliegenden Simulation zeigt sich im Vergleich zur ihrer analytischen Approximation empirisch eine leichte Verschiebung der Fisher-transformierten Stichprobenkorrelationen zu höheren Werten. Die betrachteten Konfidenzintervalle überdecken die wahre, aber unbekannte, Korrelation in zwei von 100 Fällen nicht.
set.seed(0) # Reproduzierbarkeit
nsim = 1e5 # Realisierungsanzahl
n = 30 # Personenanzahl
m = 2 # Testmessungsanzahl
sigsqr_tau = 1 # Wahrer Wert Varianz
sigsqr_eps = .2 # Beobachteter Wert Varianz
R = sigsqr_tau/(sigsqr_tau+sigsqr_eps) # Paralletestreliabilität
delta = 0.95 # Konfidenzlevel
z_delta = qnorm((1+delta)/2) # Konfidenzintervallskalierungsparameter
r = rep(NaN, nsim) # Paralleltesterliabilitässchätzer Array
r_til = rep(NaN, nsim) # Fisher Transformation von r
r_til_u = rep(NaN, nsim) # Unterer Konfidenzintervallparameter
r_til_o = rep(NaN, nsim) # Oberer Konfidenzintervallparameter
kappa = matrix(rep(NaN,2*nsim), ncol= 2) # Konfidenzintervallarray
for(s in 1:nsim){ # Simulationsiterationen
T = matrix(rep(NaN, n) , nrow = n) # Wahrer Wert Array
Y = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Beobachteter Wert Array
E = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Messfehler Array
for(i in 1:n){ # Personeniterationen
T[i] = rnorm(1,1,sqrt(sigsqr_tau)) # Wahrer Wert Realisierung für j = 1,2
for(j in 1:m){ # Testmessungsiterationen
Y[i,j] = rnorm(1,T[i],sqrt(sigsqr_eps)) # Beobachter Wert Realisierung
E[i,j] = Y[i,j] - T[i]}} # Messfehler Realisierung
r[s] = cor(Y[,1],Y[,2]) # Paralleltestreliabilitätsschätzer
r_til[s] = 1/2*log((1+r[s])/(1-r[s])) # Fisher Transformation von r
r_til_u[s] = r_til[s] - z_delta*(1/sqrt(n-3)) # unterer Konfidenzintervallparameter
r_til_o[s] = r_til[s] + z_delta*(1/sqrt(n-3)) # oberer Konfidenzintervallparameter
kappa[s,1] = (exp(2*r_til_u[s])-1)/(exp(2*r_til_u[s])+1) # untere Konfidenzintervallgrenze
kappa[s,2] = (exp(2*r_til_o[s])-1)/(exp(2*r_til_o[s])+1) # obere Konfidenzintervallgrenze
}
50.3 Interne Konsistenz
50.3.1 \(m\)-Komponententestmodelle
In den vorherigen Abschnitten bezeichnete \(y_{ij}\) die Zufallsvariable zur Modellierung des beobachteten Werts der \(j\)ten Testmessung der \(i\)ten Person, wobei wir das Vorliegen von \(m\) Testmessungen von \(n\) Personen angenommen haben. Wir haben dabei aber zunächst offen gelassen, ob mit der \(j\)ten Testmessung das summative Ergebnis eines Tests oder das Ergebnis ein einzelnes Testitems gemeint ist, um die Theorie für beide Anwendungsfälle zu entwickeln. Als Grundlage der Bestimmung der internen Konsistenz eines Tests identifizieren wir in diesem Abschnitt nun die \(j\)te Testmessung mit dem \(j\)ten Item eines Tests. \(y_{ij}\) bezeichnet also im Folgenden die Zufallsvariable zur Modellierung des Beobachteten Werts des \(j\)ten Items der \(i\)ten Person in einem Test, wobei wir weiterhin \(m\) Items und \(n\) Personen annehmen. Weiterhin gehen wir in diesem Zusammenhang davon aus, dass für jede Person ein Gesamt-Beobachteter-Wert durch Summation über die Items eines Test gebildet wird. Die Zufallsvariable zur Modellierung dieses Gesamt-Beobachteten-Werts bezeichnen wir mit \[\begin{equation} y_i := \sum_{j=1}^m y_{ij}. \end{equation}\] Wir fassen diese Vorüberlegungen in folgender Definition des \(m\)-Komponententestmodells zusammen.
Definition 50.8 (\(m\)-Komponententestmodell) Gegeben sei das Modell multipler Testmessungen für \(i = 1,...,n\) Personen und \(j = 1,...,m\) Testmessungen. Für \(i = 1,...,n\) seien
- \(y_i := \sum_{j=1}^m y_{ij}\) die Summe der Beobachteten Werte und
- \(\tau_i := \sum_{j=1}^m \tau_{ij}\) die Summe der Wahren Werte.
Dann heißt die gemeinsame Verteilung der \(y_i\) und \(\tau_i\) für \(i = 1,...n\) mit der Faktorisierungseigenschaft \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_1,...,\tau_n,y_1,...,y_n) := \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(\tau_i,y_i) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(y_i|\tau_i)\mathbb{P}(\tau_i) \end{equation}\] das \(m\)-Komponententestmodell, wenn gilt dass \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_1,y_1) = \cdots = \mathbb{P}(\tau_n,y_n). \end{equation}\]
Zum Verständnis dazu, wie Cronbach’s \(\alpha\) die interne Konsistenz eines Tests misst, bietet es sich zunächst an, für das \(m\)-Komponententestmodell die Reliabilität im Sinne der Formulierung von Aussage (1) in Theorem 50.5 zu definieren.
Definition 50.9 (Reliabilität von \(m\)-Komponententestmodellen) Gegeben sei ein \(m\)-Komponententestmodell mit der Summe der Beobachteten Werte \(y_i\) und der Summe der Wahren Werte \(\tau_i\) für \(i = 1,...,n\) Personen. Dann ist die Reliabilität des Modells definiert als \[\begin{equation} \mbox{R} := \frac{\mathbb{V}(\tau_i)}{\mathbb{V}(y_i)} \mbox{ für ein beliebiges } 1 \le i \le n. \end{equation}\]
50.3.2 Cronbach’s \(\alpha\)
Vor dem Hintergrund des \(m\)-Komponentenmodells definieren wir Cronbach’s \(\alpha\) wie folgt.
Definition 50.10 (Cronbach’s \(\alpha\)) Gegeben sei ein \(m\)-Komponententestmodell. Dann heißt \[\begin{equation} \alpha := \frac{m}{m-1}\left(1 - \frac{\sum_{j=1}^m \mathbb{V}(y_{ij})}{\mathbb{V}(y_i)}\right) \end{equation}\] Cronbach’s \(\alpha\) oder Koeffizient \(\alpha\).
Man beachte, dass in Definition 50.10 \(\mathbb{V}(y_{ij})\) die Varianzen der Beobachteten Werte für Personen und Items und \(\mathbb{V}(y_i)\) die Varianzen der Summen der Beobachteten Werte für Personen bezeichnen. Da nach Annahme des \(m\)-Komponententestmodells die Verteilungen der \(y_i\) identisch sind, wird Cronbach’s \(\alpha\) auch häufig in der Form \[\begin{equation} \alpha = \frac{m}{m-1}\left(1 - \frac{\sum_{j=1}^m \mathbb{V}(y_{j})}{\mathbb{V}(y)}\right) \end{equation}\] geschrieben, wobei \(\mathbb{V}(y_{j})\) die Varianzen der Items und \(\mathbb{V}(y)\) die Varianz der Summen der Beobachten Werte bezeichnen.
Intuitiv nimmt Cronbach’s \(\alpha\) einen Wert nahe \(1\) an, wenn die Anzahl der Items \(m\) hoch und damit \(\frac{m}{m-1} \approx 1\) ist und gleichzeitig das Verhältnis der summierten Itemvarianzen \(\sum_{j=1}^m \mathbb{V}(y_{j})\) zur Varianz der Summe der Itemwerte \(\mathbb{V}(y)\) sehr gering und damit \(\sum_{j=1}^m \mathbb{V}(y_{j})/\mathbb{V}(y) \approx 0\) ist. Seine zentrale Bedeutung in der Klassischen Testtheorie bekommt Cronbach’s \(\alpha\) durch seinen Zusammenhang mit der Reliabilität eines \(m\)-Komponententests, welchen wir in unterem Theorem darstellen.
Theorem 50.9 (Cronbach’s \(\alpha\) und Reliabilität) Gegeben sei ein \(m\)-Komponententestmodell mit Reliabilität \(\mbox{R}\). Dann gilt für Cronbach’s \(\alpha\), dass \[\begin{equation} \alpha \le \mbox{R} \end{equation}\] und Gleichheit tritt insbesondere dann ein, wenn die Testmessungen des \(m\)-Komponententestmodell parallel sind.
Beweis. Zur Vereinfachung der Notation verzichten wir auf die explizite Auszeichung der Personen \(i = 1,...,n\) und setzen
\[\begin{equation}
y_{j} := y_{ij},
\tau_{j} := \tau_{ij},
y := \sum_{j=1}^m y_{j}
\mbox{ und }
\tau := \sum_{j=1}^m \tau_{j},
\end{equation}\] sowie \[\begin{equation}
\mbox{R} := \frac{\mathbb{V}(\tau)}{\mathbb{V}(y)} \mbox{ und }
\alpha := \frac{m}{m-1}\left(1 - \frac{\sum_{j=1}^m \mathbb{V}(y_{j})}{\mathbb{V}(y)}\right).
\end{equation}\] Wir gehen in vier Schritten vor.
(1) (Summendarstellung) Wir halten zunächst folgende Darstellung der Summe von \(m\) Zahlen fest: für Zahlen \(x_1,...,x_m\) gilt, dass \[\begin{equation} \sum_{j=1}^m x_j = \frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1}^m (x_j + x_k). \end{equation}\] Anstelle eines Beweises betrachten wir den Fall \(m := 4\). Dann gilt \[\begin{align} \begin{split} \frac{1}{3}\sum_{j=1}^{3}\sum_{k = j + 1}^4 (x_j + x_k) & = \frac{1}{3}\left(\sum_{k = 1 + 1}^4 (x_1 + x_k) + \sum_{k = 2 + 1}^4 (x_2 + x_k) + \sum_{k = 3 + 1}^4 (x_3 + x_k)\right) \\ & = \frac{1}{3}\left(\sum_{k = 2}^4 (x_1 + x_k) + \sum_{k = 3}^4 (x_2 + x_k) +\sum_{k = 4}^4 (x_3 + x_k)\right) \\ & = \frac{1}{3}\left((x_1 + x_2) + (x_1 + x_3) + (x_1 + x_4) + (x_2 + x_3) + (x_2 + x_4) + (x_3 + x_4) \right) \\ & = \frac{1}{3}\left((x_1 + x_1 + x_1) + (x_2 + x_2 + x_2) + (x_3 + x_3 + x_3) + (x_4 + x_4 + x_4) \right) \\ & = \frac{1}{3}\left(3x_1+ 3x_2+ 3x_3 + 3x_4 \right) \\ & = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \\ & = \sum_{j = 1}^4 x_j \\ \end{split} \end{align}\]
(2) (True-Score-Kovarianzungleichung) Wir leiten nun im Modell multipler Testmessungen eine Ungleichung her. Dazu betrachten wir in diesem Modell die Varianz der Differenz zweier wahrer Werte \(\tau_j\) und \(\tau_k\). Mit der Nicht-Negativität der Varianz (Theorem 24.4) und dem Theorem zur Varianz spezieller Linearkombinationen von Zufallsvariablen (Theorem 25.7) ergibt sich
\[\begin{align}
\begin{split}
\mathbb{V}(\tau_j - \tau_k) \ge 0
\Leftrightarrow
\mathbb{V}(\tau_j) + \mathbb{V}(\tau_k) - 2\mathbb{C}(\tau_j,\tau_k) \ge 0
\Leftrightarrow
\mathbb{V}(\tau_j) + \mathbb{V}(\tau_k) \ge 2\mathbb{C}(\tau_j,\tau_k)
\end{split}
\end{align}\] Weiterhin ergibt sich für beliebige \(1 \le j,k \le m\) bei parallelen Testmessungen, dass \[\begin{equation}
\mathbb{V}(\tau_j - \tau_k) = \mathbb{V}(f_j(\tau_1) - f_k(\tau_1)) = \mathbb{V}(\tau_1 - \tau_1) = \mathbb{V}(0) = 0.
\end{equation}\] Im Fall paralleler Testmessungen ergibt sich in obiger Ungleichung und ihrer Anwendung im Folgenden also Gleichheit.
(3) (Summen-True-Score-Varianzungleichung) Wir betrachten nun die Varianz der True-Score Summe im \(m\)-Komponententestmodell. Mit dem Theorem zur Varianz einer Linearkombination von Zufallsvariablen (Theorem 25.6), der Summendarstellung aus (1) und der True-Score-Kovarianzungleichung aus (2) ergibt sich zunächst \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{V}(\tau) & = \mathbb{V}\left(\sum_{j=1}^m \tau_j\right) \\ & = \sum_{j=1}^m \mathbb{V}(\tau_j) + 2\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m \mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) \\ & = \frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m \left(\mathbb{V}(\tau_j) + \mathbb{V}(\tau_k)\right) + 2\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m \mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) \\ & \ge \frac{1}{m-1}\sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m 2 \mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) + \sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m 2\mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) \\ & = \left(\frac{1}{m-1} + 1 \right) \sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m \mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) \\ & = \left(\frac{1}{m-1} + \frac{m-1}{m-1} \right) \sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m 2\mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) \\ & = \frac{1 + m - 1}{m-1} \sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m 2\mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) \\ & = \frac{m}{m-1} \sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m 2\mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) \\ \end{split} \end{align}\] Mit Aussage (5) von Theorem 50.3 und wiederum mit Theorem 25.6 gilt dann \[\begin{align} \begin{split} \mathbb{V}(\tau) & \ge \frac{m}{m-1} \sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m 2\mathbb{C}(\tau_j, \tau_k) \\ & = \frac{m}{m-1} \sum_{j=1}^{m-1}\sum_{k = j + 1 }^m 2\mathbb{C}(y_j, y_k) \\ & = \frac{m}{m-1} \left(\mathbb{V}\left(\sum_{j=1}^m y_j\right) - \sum_{j=1}^m \mathbb{V}\left(y_j\right) \right)\\ & = \frac{m}{m-1} \left(\mathbb{V}(y) - \sum_{j=1}^m \mathbb{V}\left(y_j\right) \right).\\ \end{split} \end{align}\] (4) (Reliabilität) Wir betrachten schließlich die Reliabilität im \(m\)-Komponententestmodell. Es ergibt sich \[\begin{align} \begin{split} \mbox{R} & = \frac{\mathbb{V}(\tau)}{\mathbb{V}(y)} \\ & \ge \frac{\frac{m}{m-1} \left(\mathbb{V}(y) - \sum_{j=1}^m \mathbb{V}\left(y_j\right)\right)}{\mathbb{V}(y)} \\ & = \frac{m}{m-1} \left(\frac{\mathbb{V}(y)}{\mathbb{V}(y)} - \frac{\sum_{j=1}^m \mathbb{V}\left(y_j\right)}{\mathbb{V}(y)}\right) \\ & = \frac{m}{m-1} \left(1 - \frac{\sum_{j=1}^m \mathbb{V}\left(y_j\right)}{\mathbb{V}(y)}\right) \\ & =: \alpha. \end{split} \end{align}\]
Cronbach’s \(\alpha\) ist also eine untere Grenze für die Reliabilität eines \(m\)-Komponententestmodells, die Relibabilität eines \(m\)-Komponententestmodells also ist mindestens so groß wie Cronbach’s \(\alpha\), kann aber größer sein. Für parallele Testmessungen, also parallele Items, ist die Reliabilität eines \(m\)-Komponententestmodells sogar gleich \(\alpha\).
50.3.3 Schätzung von Cronbach’s \(\alpha\)
Die Schätzung von Cronbach’s \(\alpha\) greift auf die Stichprobenvarianzen der beobachteten Itemscores und der beobachteten Testsummenscores zurück. Für Daten von Personen \(i = 1,...,n\) ist ein Schätzer für die Varianz des \(j\)ten Itemscores durch \[\begin{equation} S^2_j := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(y_{ij} - \bar{y}_j\right)^2 \mbox{ mit } \bar{y}_j := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_{ij} \end{equation}\] und ein Schätzer für die Varianz der Testsummenscores durch \[\begin{equation} S^2 := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left(y_i - \bar{y}\right)^2 \mbox{ mit } \bar{y} := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i \end{equation}\] gegeben. Ein Schätzer für \(\alpha\) ergibt sich entsprechend zu \[\begin{equation} \hat{\alpha} = \frac{m}{m-1}\left(1 - \frac{\sum_{j=1}^m S^2_j}{S^2}\right). \end{equation}\] Wir demonstrieren die Evaluation dieses Schätzers untenstehend anhand einer Simulation im Modell paralleler Testmessungen für \(n := 30\) und \(m := 21\) mit \[\begin{equation} \mathbb{P}(\tau_{i}) := N(1,1) \mbox{ und } \mathbb{P}(y_{ij}|\tau_{i}) := N(\tau_{i},4) \mbox{ für } i = 1,...,n, j = 1,...,m. \end{equation}\]
library(psych) # R Paket zur Testanalyse
set.seed(0) # Reproduzierbarkeit
n = 30 # Personenanzahl
m = 21 # Itemanzahl
mu = 1 # Wahrer Wert Erwartungswertparameter
T = matrix(rep(NaN, n) , nrow = n) # Wahrer Wert Array
Y = matrix(rep(NaN, n*m), nrow = n) # Beobachteter Wert Array
for(i in 1:n){ # Iteration über Personen
T[i] = rnorm(2,mu,sqrt(1)) # Wahrer Wert Realisierung
for(j in 1:m){ # Iteration über Items
Y[i,j] = rnorm(1,T[i],sqrt(4))}} # Beobachteter Wert Realisierung
vsi = var(apply(Y,1,sum)) # Stichprobenvarianz der Beobachten Wert Summen
siv = sum(apply(Y,2,var)) # Summe der Item-Stichprobenvarianzen
a = (m/(m-1))*(1-(siv/vsi)) # Direkte Berechnung von Cronbach's alphca
ap = alpha(Y,warnings = F) # Berechnung von Cronbach's alpha mit psych Cronbach's alpha (manuell) : 0.823
Cronbach's alpha (psych) : 0.823Die Frequentistische Verteilungs- und Inferenztheorie zu diesem Schätzer ist von Kristof (1963), Feldt (1965), Feldt et al. (1987), Van Zyl et al. (2000) und Yuan & Bentler (2002) ausgearbeitet worden.
Borsboom, D. (2009). Measuring the Mind: Conceptual Issues in Contemporary Psychometrics. Cambridge University Press.
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