3  Summen, Produkte, Potenzen

Diese Einheit führt Schreibweisen für die Grundrechenarten ein.

3.1 Summen

Definition 3.1 (Summenzeichen) Es bezeichnet \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^{n} x_i = x_1 + x_{2} + \cdots + x_{n}. \end{equation}\] Dabei stehen

  • \(\Sigma\) für das griechische Sigma, mnemonisch für Summe,
  • das Subskript \(i = 1\) für den Laufindex der Summanden und den Startindex,
  • das Superskript \(n\) für den Endindex und
  • \(x_1, x_2, ..., x_n\) für die Summanden.

Die Indizes der Summation müssen eindeutig festgelegt sein. Dies kann durch einen Start- und Endindex oder durch eine Indexmenge erfolgen. Die genaue Bezeichnung des Laufindexes ist dagegen für den Wert der Summe irrelevant, es gilt \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^n x_i = \sum_{j = 1}^n x_j. \end{equation}\] Manchmal wird der Laufindex auch als Element einer Indexmenge angegeben. Ist z. B. die Indexmenge \(I := \{1,5,7\}\) definiert, so ist \[\begin{equation} \sum_{i \in I} x_i := x_1 + x_5 + x_7. \end{equation}\] Im Folgenden wollen wir kurz einige Beispiele für die Benutzung des Summenzeichens betrachten.

  • Summation vordefinierter Summanden. Es seien \(x_1 := 2\), \(x_2 := 10\), \(x_3 := -4\). Dann gilt \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^3 x_i = x_1 + x_2 + x_3 = 2 + 10 - 4 = 8. \end{equation}\]
  • Summation gewichteter vordefinierter Summanden. Es seien wiederum \(x_1 := 2\), \(x_2 := 10\), \(x_3 := -4\). Weiterhin seien die Wichtungskoeffizienten \(a_1 := \frac{1}{2}\), \(a_2 := \frac{1}{5}\), \(a_3 := 2\) definiert. Dann gilt \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^3 a_i x_i = a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 = \frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{5} \cdot 10 + 2 \cdot (-4) = 1 + 2 - 8 = -5. \end{equation}\] Ausdrücke der Form \(\sum_{i = 1}^n a_i x_i\) werden auch als Linearkombinationen der \(x_1,...,x_n\) mit den Koeffizienten oder Wichtungsparametern \(a_1,...,a_n\) bezeichnet.
  • Summation natürlicher Zahlen. Es gilt \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. \end{equation}\]
  • Summation gerader natürlicher Zahlen. Es gilt \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^5 2i = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30. \end{equation}\]
  • Summation ungerader natürlicher Zahlen. Es gilt \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^5 (2i - 1) = 2 \cdot 1 - 1 + 2 \cdot 2 - 1 + 2 \cdot 3 - 1 + 2 \cdot 4 - 1 + 2 \cdot 5 - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. \end{equation}\]

Der Umgang mit dem Summenzeichen kann oft durch die Anwendung folgender Rechenregeln vereinfacht werden.

Theorem 3.1 (Rechenregeln für Summen)  

  1. Summen gleicher Summanden \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^n x = nx \end{equation}\]
  2. Addition von Summen gleicher Länge \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^n x_i + \sum_{i = 1}^n y_i = \sum_{i = 1}^n (x_i + y_i) \end{equation}\]
  3. Distributivität bei Multiplikation mit einer Konstanten \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^n ax_i = a\sum_{i = 1}^n x_i \end{equation}\]
  4. Aufspalten von Summen mit \(1 < m < n\) \[\begin{equation} \sum_{i = 1}^n x_i = \sum_{i = 1}^m x_i + \sum_{i = m+1}^n x_i \end{equation}\]
  5. Umindizierung \[\begin{equation} \sum_{i = 0}^n x_i = \sum_{j = m}^{n+m} x_{j - m} \end{equation}\]

Beweis. Man überzeugt sich von diesen Rechenregeln durch Ausschreiben der Summen und Anwenden der Rechenregeln von Addition und Multiplikation. Wir zeigen hier exemplarisch die Addition von Summen gleicher Länge und die Distributivität bei Multiplikation mit einer Konstanten. Hinsichtlich ersterer haben wir \[\begin{align} \begin{split} \sum_{i = 1}^n x_i + \sum_{i = 1}^n y_i & = x_1 + x_2 + \cdots + x_n + y_1 + y_2 + \cdots + y_n \\ & = x_1 + y_1 + x_2 + y_2 + \cdots + x_n + y_n \\ & = \sum_{i = 1}^n (x_i + y_i). \end{split} \end{align}\] Hinsichtlich letzterer gilt \[\begin{align} \begin{split} \sum_{i = 1}^n ax_i & = ax_1 + ax_2 + \cdots + ax_n \\ & = a(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) \\ & = a\sum_{i = 1}^n x_i. \end{split} \end{align}\]

Beispiele

Als erstes Beispiel für die Anwendung der in Theorem 3.1 festgehaltenen Rechenregeln betrachten wir die Auswertung eines Mittelwertes (manchmal auch Durchschnitt genannt). Dazu seien \(x_1, x_2,...,x_n\) reelle Zahlen. Der Mittelwert dieser Zahlen entspricht der Summe von \(x_1, x_2,...,x_n\) geteilt durch die Anzahl der Zahlen \(n\). Dabei ist es nach Aussage (3) von Theorem 3.1 irrelevant, ob zunächst die Zahlen aufaddiert werden und dann die resultierende Summe durch \(n\) geteilt wird oder die Zahlen jeweils einzeln durch \(n\) geteilt werden und die entsprechenden Ergebnisse dann aufaddiert werden. Genauer gilt durch Anwendung von Theorem 3.1 (3) mit \(a = 1/n\), dass \[\begin{equation} \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n x_i = \sum_{i = 1}^n \frac{x_i}{n}. \end{equation}\] So ist zum Beispiel der Mittelwert von \(x_1 := 1, x_2 := 4, x_3 := 2\) und \(x_4 := 1\) gegeben durch \[\begin{equation} \frac{1}{4}\sum_{i = 1}^4 x_i = \frac{1}{4}(1 + 4 + 2 + 1) = \frac{8}{4} = 2 = \frac{8}{4} = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} + \frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \sum_{i = 1}^4 \frac{x_i}{4}. \end{equation}\]

Als zweites Beispiel betrachten wir die in Theorem 3.1 (5) festgehaltene Umindizierungsregel. Dazu seien \(n := 3\) und \(m := 2\) sowie \(x_0 := 2\), \(x_1 := 3\), \(x_2 := 5\) und \(x_3 := 10\). Dann gilt offenbar \[\begin{align} \begin{split} \sum_{i = 0}^3 x_i & = x_0 + x_1 + x_2 + x_3 \\ & = 2 + 3 + 5 + 10 \\ & = 20. \end{split} \end{align}\] Ebenso gilt aber auch \[\begin{align} \begin{split} \sum_{j = m}^{n + m} x_{j-m} & = \sum_{j = 2}^{3 + 2} x_{j-2} \\ & = \sum_{j = 2}^{5} x_{j-2} \\ & = x_{2-2} + x_{3-2} + x_{4-2} + x_{5-2} \\ & = x_{0} + x_{1} + x_{2} + x_{3} \\ & = 2 + 3 + 5 + 10 \\ & = 20. \end{split} \end{align}\]

Doppelsummen

Nicht selten trifft man in der Anwendung auf Ausdrücke, die mehrere Summationen hintereinander ausführen. Dabei gelten für jede der Summen die oben gelisteten Definitionen und Rechenregeln. Man macht sich die Bedeutung von Doppelsummen am besten dadurch klar, dass man sie von innen nach außen ausschreibt und dabei beachtet, dass für jede Iteration der inneren Summe der Laufindex der äußeren Summe konstant bleibt.

Folgende Beispiele mögen dies verdeutlichen.

Beispiel (1) \[\begin{align} \begin{split} \sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^3 (i+j) & = \sum_{i = 1}^2 (i + 1 + i + 2 + i + 3) \\ & = (1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3) + (2 + 1 + 2 + 2 + 2 + 3) \\ & = 9 + 12 \\ & = 21 \end{split} \end{align}\]

Beispiel (2) \[\begin{align} \begin{split} \sum_{i = 1}^2 \sum_{j = 1}^3 (x_i + y_j) & = \sum_{i = 1}^2 (x_i + y_1 + x_i + y_2 + x_i + y_3) \\ & = (x_1 + y_1 + x_1 + y_2 + x_1 + y_3) + (x_2 + y_1 + x_2 + y_2 + x_2 + y_3) \end{split} \end{align}\]

Beispiel (3) \[\begin{align} \begin{split} \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^2 (x_iy_j) & = \sum_{i = 1}^3 (x_iy_1 + x_iy_2) \\ & = (x_1y_1 + x_1y_2) + (x_2y_1 + x_2y_2) + (x_3y_1 + x_3y_2) \end{split} \end{align}\]

3.2 Produkte

Eine analoge Schreibweise zum Summenzeichen bietet das Produktzeichen für Produkte.

Definition 3.2 (Produktzeichen) Es bezeichnet \[\begin{equation} \prod_{i = 1}^{n} x_i = x_1 \cdot x_{2} \cdot \cdots \cdot x_{n}. \end{equation}\] Dabei stehen

  • \(\prod\) für das griechische Pi, mnemonisch für Produkt,
  • das Subskript \(i = 1\) für den Laufindex der Produktterme und den Startindex,
  • das Superskript \(n\) für den Endindex und
  • \(x_1, x_2, ..., x_n\) für die Produktterme.

Die Indizes der Multiplikation müssen eindeutig festgelegt sein. Dies kann durch einen Start- und Endindex oder durch eine Indexmenge erfolgen. Die genaue Bezeichnung des Laufindexes ist wiederum irrelevant, es gilt \[\begin{equation} \prod_{i = 1}^n x_i = \prod_{j = 1}^n x_j. \end{equation}\] Auch hier wird in seltenen Fällen der Laufindex als Element einer Indexmenge angegeben. Ist z. B. die Indexmenge \(J := \mathbb{N}_2^0\) definiert, so ist \[\begin{equation} \prod_{j \in J} x_j := x_0 \cdot x_1 \cdot x_2. \end{equation}\]

Ein Beispiel für die Benutzung des Produktzeichens ist etwa die Definition der Fakultät einer natürlichen Zahl \(n\) durch \[\begin{equation} n! := \prod_{i = 1}^n i. \end{equation}\] So ist etwa \[\begin{equation} 4! = \prod_{i = 1}^4 i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24. \end{equation}\]

Auch für Produkte gibt es eine Reihe von Rechenregeln, die den Umgang mit ihnen oft vereinfachen. Wir listen einige im folgenden Theorem. Dabei machen wir vorgreifend Gebrauch der in Kapitel 3.3 definierten Schreibweise von Potenzen.

Theorem 3.2 (Rechenregeln für Produkte)  

  1. Produkte gleicher Faktoren \[\begin{equation} \prod_{i = 1}^n x = x^n \end{equation}\]
  2. Potenzierung von Konstanten \[\begin{equation} \prod_{i = 1}^n ax_i = a^n\prod_{i = 1}^n x_i \end{equation}\]
  3. Aufspalten von Produkten mit \(1 < m < n\) \[\begin{equation} \prod_{i = 1}^n x_i = \prod_{i = 1}^m x_i \prod_{j = m+1}^n x_j \end{equation}\]
  4. Produkt von Produkten \[\begin{equation} \prod_{i = 1}^n x_iy_i = \prod_{i = 1}^n x_i \prod_{i = 1}^n y_i \end{equation}\]

Doppelprodukte

Beispielhaft betrachten wir die folgenden Doppelprodukte.

Beispiel (1) \[\begin{align} \begin{split} \prod_{i = 1}^2 \prod_{j = 1}^3 (i+j) & = \prod_{i = 1}^2 (i+1)(i+2)(i+3) \\ & = (1+1)(1+2)(1+3)\cdot(2+1)(2+2)(2+3) \\ & = 24\cdot 60 \\ & = 1440. \end{split} \end{align}\]

Beispiel (2) \[\begin{align} \begin{split} \prod_{i = 1}^2 \prod_{j = 1}^3 (x_i+y_j) & = \prod_{i = 1}^2 (x_i+y_1)(x_i+y_2)(x_i+y_3) \\ & = (x_1+y_1)(x_1+y_2)(x_1+y_3)\cdot(x_2+y_1)(x_2+y_2)(x_2+y_3). \end{split} \end{align}\]

Beispiel (3) \[\begin{align} \begin{split} \prod_{i = 1}^3 \prod_{j = 1}^2 (x_i y_j) & = \prod_{i = 1}^3 (x_i y_1)(x_i y_2) \\ & = (x_1y_1)(x_1y_2)\cdot(x_2y_1)(x_2y_2)\cdot(x_3y_1)(x_3y_2). \end{split} \end{align}\]

3.3 Potenzen

Produkte von Zahlen mit sich selbst können mithilfe der Potenzschreibweise abgekürzt werden.

Definition 3.3 (Potenz) Für \(a \in \mathbb{R}\) und \(n \in \mathbb{N}^0\) ist die \(n\)-te Potenz von \(a\) definiert durch \[\begin{equation} a^0 := 1 \mbox{ und } a^{n+1} := a^n \cdot a. \end{equation}\] Weiterhin ist für \(a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) und \(n \in \mathbb{N}^0\) die negative \(n\)-te Potenz von \(a\) definiert durch \[\begin{equation} a^{-n} := (a^n)^{-1} := \frac{1}{a^n}. \end{equation}\] \(a\) wird dabei Basis und \(n\) wird Exponent genannt.

Die Art der Definition von \(a^{n+1}\) mit Rückbezug auf die Potenz \(a^n\) in obiger Definition nennt man rekursiv. Die Definition \(a^0 := 1\) nennt man dabei den Rekursionsanfang. Er macht die rekursive Definition von \(a^{n+1}\) erst möglich. Die Definition \(a^{n+1} := a^n \cdot a\) nennt man auch Rekursionsschritt. Folgende Rechenregeln vereinfachen das Rechnen mit Potenzen.

Theorem 3.3 (Rechenregeln für Potenzen) Für \(a,b \in \mathbb{R}\) und \(n,m \in \mathbb{Z}\) gelten folgende Rechenregeln, sofern alle auftretenden Potenzen definiert sind. Bei negativen Exponenten müssen die jeweiligen Basen ungleich null sein. Für die Quotientenregel muss außerdem \(b \neq 0\) gelten. \[\begin{align} a^n a^m & = a^{n+m}, \\ (ab)^n & = a^n b^n, \\ \left(\frac{a}{b}\right)^n & = \frac{a^n}{b^n}, \\ (a^n)^m & = a^{nm}. \end{align}\]

Anstelle eines Beweises betrachten wir folgende vier Beispiele.

(1) \[\begin{equation} 2^2 \cdot 2^3 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^5 = 2^{2 + 3} \end{equation}\]

(2) \[\begin{equation} (2 \cdot 4)^2 = (2 \cdot 4) \cdot (2 \cdot 4) = (2 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 4) = 2^2 \cdot 4^2 \end{equation}\]

(3) \[\begin{equation} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{2^3}{3^3} \end{equation}\]

(4) \[\begin{equation} (3^2)^3 = (3 \cdot 3)^3 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3) = 3^6 = 3^{2 \cdot 3} \end{equation}\]

In enger Beziehung zur Potenz steht die Definition der \(n\)-ten Wurzel:

Definition 3.4 (\(n\)-te Wurzel) Für \(a \in \mathbb{R}_{\ge 0}\) und \(n \in \mathbb{N}\) ist die \(n\)-te Wurzel von \(a\) definiert als die nichtnegative reelle Zahl \(r\) mit \[\begin{equation} r^n = a. \end{equation}\]

Beim Rechnen mit Wurzeln ist die Potenzschreibweise von Wurzeln oft hilfreich, da sie die direkte Anwendung der Rechenregeln für Potenzen ermöglicht.

Definition 3.5 (Potenzschreibweise der \(n\)-ten Wurzel) Es sei \(a \in \mathbb{R}_{\ge 0}\), \(n \in \mathbb{N}\) und \(r\) die \(n\)-te Wurzel von \(a\). Wir definieren \[\begin{equation} a^{\frac{1}{n}} := r. \end{equation}\]

Das Rechnen mit Quadratwurzeln wird durch die Potenzschreibweise \[\begin{equation} \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \end{equation}\] sehr erleichtert. So gilt zum Beispiel \[\begin{equation} \frac{2\pi}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\pi}{(2\pi)^{\frac{1}{2}}} = (2\pi)^{1} \cdot (2\pi)^{-\frac{1}{2}} = (2\pi)^{1-\frac{1}{2}} = (2\pi)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2\pi}. \end{equation}\]

Folgender Zusammenhang zwischen Quadrat, Wurzel und Betrag wird des Öfteren genutzt.

Theorem 3.4 (Wurzel und Betrag) Es sei \(x \in \mathbb{R}\) und es bezeichne \[\begin{equation} |x| := \begin{cases} x & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x & \mbox{für } x < 0 \end{cases} \end{equation}\] den Betrag von \(x\). Dann gilt \[\begin{equation} \sqrt{x^2} = |x|. \end{equation}\]

Beweis. Wir betrachten die Fälle \(x \ge 0\) und \(x < 0\). Sei zunächst \(x \ge 0\). Dann gilt \[\begin{equation} x \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x^2} = x = |x|. \end{equation}\] Sei nun \(x < 0\). Dann gilt \[\begin{equation} x < 0 \Rightarrow x^2 > 0 \Rightarrow \sqrt{x^2} = -x = |x|. \end{equation}\]

Selbstkontrollfragen

  1. Geben Sie die Definition des Summenzeichens wieder.
  2. Berechnen Sie die Summen \(\sum_{i = 1}^3 2\), \(\sum_{i = 1}^3 i^2\) und \(\sum_{i = 1}^3 \frac{2}{3}i\).
  3. Schreiben Sie die Summe \(1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11\) mithilfe des Summenzeichens.
  4. Schreiben Sie die Summe \(0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10\) mithilfe des Summenzeichens.
  5. Geben Sie die Definition des Produktzeichens wieder.
  6. Geben Sie die Definition der \(n\)-ten Potenz von \(a \in \mathbb{R}\) wieder.
  7. Berechnen Sie \(2^2 \cdot 2^3\) und \(2^5\) und geben Sie die zugehörige Potenzregel wieder.
  8. Berechnen Sie \(6^2\) und \(2^2 \cdot 3^2\) und geben Sie die zugehörige Potenzregel wieder.
  9. Geben Sie die Definition der Potenzschreibweise \(a^{\frac{1}{n}}\) für \(a \ge 0\) und \(n \in \mathbb{N}\) wieder.

Lösungen

  1. Siehe Definition 3.1.
  2. Es gelten \[\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{i = 1}^3 2 & = 2 + 2 + 2 = 6 \\ \sum_{i = 1}^3 i^2 & = 1 + 4 + 9 = 14 \\ \sum_{i = 1}^3 \frac{2}{3}i & = \frac{2}{3}(1 + 2 + 3) = 4. \end{aligned} \end{equation}\]
  3. Es gilt \[\begin{equation} 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = \sum_{i = 1}^6 (2i - 1). \end{equation}\]
  4. Es gilt \[\begin{equation} 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = \sum_{i = 0}^5 2i. \end{equation}\]
  5. Siehe Definition 3.2.
  6. Siehe Definition 3.3.
  7. Es gilt \(a^n \cdot a^m = a^{n + m}\), hier also \[\begin{equation} 2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5. \end{equation}\] Siehe Theorem 3.3.
  8. Es gilt \((ab)^n = a^n b^n\), hier also \[\begin{equation} 6^2 = 36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2. \end{equation}\] Siehe Theorem 3.3.
  9. Für \(a \ge 0\) und \(n \in \mathbb{N}\) definieren wir \(a^{\frac{1}{n}} := r\), wobei \(r\) die eindeutig bestimmte nichtnegative reelle Zahl mit \(r^n = a\) ist. Siehe Definition 3.5.