2 Mengen
2.1 Grundlegende Definitionen
Mengen fassen mathematische Objekte zusammen und bilden die Grundlage der modernen Mathematik. Wir beginnen mit folgender Definition.
Definition 2.1 (Mengen) Nach Cantor (1895) ist eine Menge \(M\) definiert als “eine Zusammenfassung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten \(m\) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente der Menge genannt werden) zu einem Ganzen”. Wir schreiben \[\begin{equation} m \in M \mbox{ bzw. } m \notin M, \end{equation}\] um auszudrücken, dass \(m\) ein Element bzw. kein Element von \(M\) ist.
Zur Definition von Mengen gibt es mindestens folgende Möglichkeiten:
- Auflisten der Elemente in geschweiften Klammern, z. B. \(M := \{1,2,3\}\).
- Angabe der Eigenschaften der Elemente, z. B. \(M := \{x \in \mathbb{N}|x < 4\}\) .
- Gleichsetzen mit einer anderen eindeutig definierten Menge, z. B. \(M := \mathbb{N}_3\).
Die Schreibweise \(\{x \in \mathbb{N}|x < 4\}\) wird gelesen als “\(x \in \mathbb{N}\), für die gilt, dass \(x < 4\) ist”, wobei die Bedeutung von \(\mathbb{N}\) im Folgenden noch zu erläutern sein wird. Es ist wichtig zu erkennen, dass Mengen ungeordnete mathematische Objekte sind, das heißt, dass die Reihenfolge der Auflistung der Elemente einer Menge keine Rolle spielt. Zum Beispiel bezeichnen \(\{1,2,3\}\), \(\{1,3,2\}\) und \(\{2,3,1\}\) dieselbe Menge, nämlich die Menge der ersten drei natürlichen Zahlen.
Grundlegende Beziehungen zwischen mehreren Mengen werden in der nächsten Definition festgelegt.
Definition 2.2 (Teilmengen und Mengengleichheit) \(M\) und \(N\) seien zwei Mengen.
- Eine Menge \(M\) heißt Teilmenge einer Menge \(N\), wenn für jedes Element \(m \in M\) gilt, dass auch \(m\in N\). Ist \(M\) eine Teilmenge von \(N\), so schreibt man \[\begin{equation} M \subseteq N \end{equation}\] und nennt \(M\) Untermenge von \(N\) und \(N\) Obermenge von \(M\).
- Eine Menge \(M\) heißt echte Teilmenge einer Menge \(N\), wenn für jedes Element \(m \in M\) gilt, dass auch \(m\in N\), es aber zumindest ein Element \(n \in N\) gibt, für das gilt \(n \notin M\). Ist \(M\) eine echte Teilmenge von \(N\), so schreibt man \[\begin{equation} M \subset N. \end{equation}\]
- Zwei Mengen \(M\) und \(N\) heißen gleich, wenn für jedes Element \(m \in M\) gilt, dass auch \(m \in N\), und wenn für jedes Element \(n \in N\) gilt, dass auch \(n\in M\). Sind die Mengen \(M\) und \(N\) gleich, so schreibt man \[\begin{equation} M = N. \end{equation}\]
Beispiel 2.1 (Teilmengen und Mengengleichheit) Betrachten wir zum Beispiel die Mengen \(M := \{1\}\), \(N := \{1,2\}\) und \(O := \{1,2\}\). Dann gilt mit obigen Definitionen, dass \(M \subset N\), weil \(1 \in M\) und \(1 \in N\), aber \(2 \in N\) und \(2 \notin M\). Weiterhin gilt, dass \(N \subseteq O\), weil \(1 \in N\) und \(1 \in O\) sowie \(2 \in N\) und \(2 \in O\) und es kein Element von \(O\) gibt, welches nicht in \(N\) ist. Ebenso gilt \(O \subseteq N\), weil \(1 \in O\) und \(1 \in N\) sowie \(2 \in O\) und \(2 \in N\) und es kein Element von \(N\) gibt, welches nicht in \(O\) ist. Schließlich gilt sogar \(N = O\), weil für jedes Element \(n \in N\) gilt, dass auch \(n \in O\), und gleichzeitig für jedes Element \(o \in O\) gilt, dass auch \(o\in N\). Wir stellen diese Zusammenhänge schematisch mithilfe von Venn-Euler-Diagrammen in Abbildung 2.1 dar.
Eine wichtige Eigenschaft einer Menge ist die Anzahl der in ihr enthaltenen Elemente. Diese wird als Kardinalität der Menge bezeichnet.
Definition 2.3 (Kardinalität) Die Anzahl der Elemente einer Menge \(M\) heißt Kardinalität und wird mit \(|M|\) bezeichnet.
Eine besondere Menge ist die Menge ohne Elemente.
Definition 2.4 (Leere Menge) Eine Menge mit Kardinalität null heißt leere Menge und wird mit \(\emptyset\) bezeichnet.
Als Beispiele seien \(M := \{1,2,3\}\), \(N = \{a,b,c,d\}\) und \(O := \emptyset\). Dann gelten \(|M| = 3\), \(|N| = 4\) und \(|O| = 0\).
Zu jeder Menge kann man die Menge aller Teilmengen dieser Menge betrachten. Dies führt auf den wichtigen Begriff der Potenzmenge.
Definition 2.5 (Potenzmenge) Die Menge aller Teilmengen einer Menge \(M\) heißt Potenzmenge von \(M\) und wird mit \(\mathcal{P}(M)\) bezeichnet.
Man beachte, dass die leere Untermenge von \(M\) und \(M\) selbst auch immer Elemente von \(\mathcal{P}(M)\) sind. Dies erschließt sich intuitiv wie folgt: anschaulich entspricht jede Teilmenge von \(M\) einer Auswahl von Elementen aus \(M\). Dabei kann man auch kein Element auswählen, wodurch die leere Menge entsteht, oder alle Elemente auswählen, wodurch man \(M\) selbst erhält. Die Potenzmenge selbst umfasst systematisch alle diese Auswahlmöglichkeiten. Wir betrachten zunächst vier Beispiele.
\(M_0 := \emptyset\) sei die leere Menge. Dann gilt \[\begin{equation} \mathcal{P}(M_0) = \{\emptyset\}. \end{equation}\]
\(M_1\) sei die einelementige Menge \(M_1 := \{a\}\). Dann gilt \[\begin{equation} \mathcal{P}(M_1) = \{\emptyset,\{a\}\}. \end{equation}\]
Es sei \(M_2 := \{a,b\}\). Dann hat \(M_2\) sowohl ein- als auch zweielementige Teilmengen und es gilt \[\begin{equation} \mathcal{P}(M_2) = \{\emptyset,\{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}. \end{equation}\]
Schließlich sei \(M_3 := \{a,b,c\}\). Dann hat \(M_3\) unter anderem ein-, zwei- und dreielementige Teilmengen und es gilt \[\begin{equation} \mathcal{P}(M_3) = \{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}. \end{equation}\]
Theorem 2.1 (Kardinalität der Potenzmenge) Gegeben sei eine Menge \(M\) mit Kardinalität \(|M| = n\) und \(\mathcal{P}(M)\) sei ihre Potenzmenge. Dann gilt \(|\mathcal{P}(M)| = 2^n\).
Beweis. Um die Aussage des Theorems zu beweisen, assoziieren wir jedes Element \(P\) der Potenzmenge von \(M\) eindeutig mit einer binären Folge der Länge \(n\), wobei der Eintrag an der \(i\) -ten Stelle repräsentiert, ob das \(i\) -te Element von \(M\) ein Element von \(P\) ist oder nicht. Seien beispielsweise \(M := \{m_1,m_2,m_3\}\) und \(P := \{m_2,m_3\}\). Dann entspricht \(P\) der binären Folge \(011\). Der leeren Menge \(P := \emptyset\) entspricht die binäre Folge \(000\) und der Ausgangsmenge \(P = M\) entspricht die binäre Folge \(111\). Es ergibt sich also die Frage, wie viele eindeutige binäre Folgen der Länge \(n\) es gibt. Da es für jedes Element der Folge zwei mögliche Zustände gibt, ergeben sich \(n\) Faktoren \(2 \cdot 2 \cdots 2\), also \(2^n\).
In den obigen Beispielen haben wir die Fälle
- \(|M_0| = 0 \Rightarrow |\mathcal{P}(M_0)| = 2^0 = 1\),
- \(|M_1| = 1 \Rightarrow |\mathcal{P}(M_1)| = 2^1 = 2\),
- \(|M_2| = 2 \Rightarrow |\mathcal{P}(M_2)| = 2^2 = 4\),
- \(|M_3| = 3 \Rightarrow |\mathcal{P}(M_3)| = 2^3 = 8\),
wovon man sich durch Nachzählen der Elemente der entsprechenden Potenzmengen überzeugt.
2.2 Verknüpfungen
Zwei Mengen können auf unterschiedliche Weise miteinander verknüpft werden. Das Ergebnis einer solchen Verknüpfung ist eine weitere Menge. Wir bezeichnen die Verknüpfung zweier Mengen als Mengenoperation und geben folgende Definitionen.
Definition 2.6 (Mengenoperationen) \(M\) und \(N\) seien zwei Mengen.
Die Vereinigung von \(M\) und \(N\) ist definiert als die Menge \[\begin{equation} M \cup N := \{x | x \in M \lor x \in N\}, \end{equation}\] wobei \(\lor\) gemäß der Definition der Disjunktion als nicht-exklusives oder, also als und/oder, zu verstehen ist.
Der Durchschnitt von \(M\) und \(N\) ist definiert als die Menge \[\begin{equation} M \cap N := \{x | x \in M \land x \in N\}. \end{equation}\] Wenn für \(M\) und \(N\) gilt, dass \(M \cap N = \emptyset\), dann heißen \(M\) und \(N\) disjunkt.
Die Differenz von \(M\) und \(N\) ist definiert als die Menge \[\begin{equation} M\setminus N := \{x | x \in M \land x \notin N\}. \end{equation}\]
Die symmetrische Differenz von \(M\) und \(N\) ist definiert als die Menge \[\begin{equation} M \Delta N := \{x|(x \in M \lor x \in N) \land x \notin M \cap N\}. \end{equation}\] Die symmetrische Differenz kann also als exklusives oder verstanden werden.
Beispiel 2.2 (Mengenoperationen) Als Beispiel betrachten wir die Mengen \(M := \{1,2,3\}\) und \(N := \{2,3,4,5\}\). Dann gelten
- \(M \cup N = \{1,2,3,4,5\}\), weil \(1 \in M\), \(2 \in M\), \(3 \in M\), \(4 \in N\) und \(5 \in N\).
- \(M \cap N = \{2,3\}\), weil nur für \(2\) und \(3\) gilt, dass \(2\in M, 3 \in M\) und auch \(2\in N, 3 \in N\). Für \(1\) gilt lediglich, dass \(1 \in M\) und für \(4\) und \(5\) gilt lediglich, dass \(4 \in N\) und \(5 \in N\).
- \(M \setminus N = \{1\}\), weil \(1 \in M\), aber \(1 \notin N\) und \(2 \in M\), aber auch \(2 \in N\).
- \(N \setminus M = \{4,5\}\), weil \(4 \in N\) und \(5 \in N\), aber \(4 \notin M\) und \(5 \notin M\). Dies zeigt insbesondere, dass die Differenz von \(M\) und \(N\) nicht symmetrisch ist, also dass nicht zwangsläufig gilt, dass \(M\setminus N\) gleich \(N \setminus M\) ist.
- \(M \Delta N = \{1,4,5\}\), weil \(1 \in M\), aber \(1 \notin \{2,3\}\), \(2 \in M\), aber \(2 \in \{2,3\}\), \(3 \in M\), aber \(3 \in \{2,3\}\), \(4 \in N\), aber \(4 \notin \{2,3\}\) und \(5 \in N\), aber \(5 \notin \{2,3\}\).
Abbildung 2.2 visualisiert die in diesem Beispiel betrachteten Mengenoperationen.
Definition 2.7 (Komplement) \(M\) und \(O\) seien Mengen mit \(M \subseteq O\). Dann heißt die Menge \[\begin{equation} M^c := O \setminus M = \{x|x \in O \land x \notin M\} \end{equation}\] das Komplement von \(M\) bezüglich \(O\).
Im Kontext von Definition 2.7 heißt \(O\) auch Grundmenge oder Universum. Das Komplement \(M^c\) enthält dabei alle Elemente dieser Grundmenge, die nicht zu \(M\) gehören. Allgemein nennt man die in Definition 2.6 definierte Differenz \(A \setminus B\) zweier beliebiger Mengen auch das relative Komplement von \(B\) bezüglich \(A\). Dafür muss \(B\) aber explizit keine Teilmenge von \(A\) sein. Ist hingegen eine Grundmenge \(O\) festgelegt und \(M \subseteq O\), so greift Definition 2.7. Zur Unterscheidung wird \(M^c = O \setminus M\) auch als absolutes Komplement von \(M\) bezeichnet und bildet einen Spezialfall des relativen Komplements. Man beachte, dass die Bezeichnung absolut hier nicht bedeutet, dass das Komplement unabhängig von der Grundmenge wäre. Vielmehr wird die festgelegte Grundmenge in der Schreibweise \(M^c\) nur nicht ausdrücklich genannt.
Die folgende Abbildung veranschaulicht das Komplement von (M) bezüglich (O).
Theorem 2.2 (Eigenschaften von Komplementen) \(M\) und \(O\) seien Mengen mit \(M \subseteq O\) und \(M^c\) sei das Komplement von \(M\) bezüglich \(O\).
Dann gelten
- \(M^c \cup M = O\)
- \(M^c \cap M = \emptyset\)
- \(\left(M^c\right)^c = M\)
Anstelle eines Beweises verweisen wir auf die durch Abbildung 2.3 vermittelte Intuition.
Theorem 2.3 (De Morgansche Regeln) \(M,N\) und \(O\) seien Mengen mit \(M\subseteq O\) und \(N \subseteq O\). Dann gelten
- \(\left(M \cap N\right)^c = M^c \cup N^c\)
- \(\left(M \cup N\right)^c = M^c \cap N^c\)
Weiterhin gilt für eine beliebige Indexmenge \(I\) und Mengen \(M_i \subseteq O\) für alle \(i \in I\), dass
- \(\left(\cap_{i\in I} M_i\right)^c = \cup_{i\in I} M_i^c\)
- \(\left(\cup_{i\in I} M_i\right)^c = \cap_{i\in I} M_i^c\)
Beweis. Wir beschränken uns auf den Beweis von (1). Dazu halten wir zunächst fest, dass \[\begin{equation} (M \cap N)^c = O \setminus (M \cap N) \mbox{ und } M^c \cup N^c = (O \setminus M) \cup (O \setminus N) \end{equation}\] Um die Gleichheit von \(\left(M \cap N\right)^c\) und \(M^c \cup N^c\) zu zeigen, zeigen wir in einem ersten Schritt \[\begin{equation} O \setminus (M \cap N) \subseteq (O \setminus M) \cup (O \setminus N) \end{equation}\] und in einem zweiten Schritt \[\begin{equation} (O \setminus M) \cup (O \setminus N) \subseteq O \setminus (M \cap N) \end{equation}\] Zusammengenommen folgt dann die Gleichheit der betrachteten Mengen.
Beweis von \(O \setminus (M \cap N) \subseteq (O \setminus M) \cup (O \setminus N)\)
Es sei \(x \in O \setminus (M \cap N)\). Dann gilt nach Definition 2.7, dass \(x \in O\) und \(x \notin (M \cap N)\). Hinsichtlich letzterer Eigenschaft gibt es drei Möglichkeiten.
- \(x \in M\). Dann folgt \(x \notin N\), also \(x \in O \setminus N\) und damit auch \(x \in (O \setminus M) \cup (O \setminus N)\).
- \(x \in N\). Dann folgt \(x \notin M\), also \(x \in O \setminus M\) und damit auch \(x \in (O \setminus M) \cup (O \setminus N)\).
- \(x \notin N\) und \(x \notin M\). Dann folgt \(x \in (O \setminus M)\) und \(x \in (O \setminus N)\) und damit auch \(x \in (O \setminus M) \cup (O \setminus N)\).
Für ein beliebiges \(x \in O \setminus (M \cap N)\) gilt also auch \(x \in (O \setminus M) \cup (O \setminus N)\) und damit \[\begin{equation} O \setminus (M \cap N) \subseteq (O \setminus M) \cup (O \setminus N). \end{equation}\]
Beweis von \((O \setminus M) \cup (O \setminus N) \subseteq O \setminus (M \cap N)\)
Sei nun \(x \in (O \setminus M) \cup (O \setminus N)\). Dann gilt mindestens eine der folgenden beiden Aussagen.
- \(x \in (O \setminus M)\). Dann gilt \(x \in O\) und \(x \notin M\). Also gilt auch \(x \notin M \cap N\), weil die Elemente von \(M \cap N\) ja gerade Elemente von \(M\) sind. Also gilt \(x \in O \setminus (M \cap N)\).
- \(x \in (O \setminus N)\). Dann gilt \(x \in O\) und \(x \notin N\). Also gilt auch \(x \notin M \cap N\), weil die Elemente von \(M \cap N\) ja gerade Elemente von \(N\) sind. Also gilt auch hier \(x \in O \setminus (M \cap N)\).
Für ein beliebiges \(x \in (O \setminus M) \cup (O \setminus N)\) gilt also auch \(x \in O \setminus (M \cap N)\) und damit ist alles gezeigt.
Schließlich wollen wir noch den Begriff der Partition einer Menge einführen.
Definition 2.8 (Partition) \(M\) sei eine Menge und \(P := \{N_i\}\) sei eine Menge von Mengen \(N_i\) mit \(i = 1,...,n\), sodass gilt \[\begin{equation} \left(M = \cup_{i=1}^n N_i\right) \land \left(N_i \cap N_j = \emptyset \mbox{ für } i,j = 1,...,n \mbox{ und } i \neq j \right). \end{equation}\] Dann heißt \(P\) eine Partition von \(M\).
Die Partition einer Menge entspricht also dem Aufteilen der Menge in disjunkte Teilmengen. Partitionen sind generell nicht eindeutig, das heißt, es gibt meist verschiedene Möglichkeiten, eine gegebene Menge zu partitionieren.
Als Beispiel betrachten wir die Menge \(M := \{1,2,3,4,5,6\}\). Dann sind \(P_1 := \{\{1\}, \{2,3,4,5,6\}\}\), \(P_2 := \{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}\}\) und \(P_3 := \{\{1,2\},\{3,4\}, \{5,6\}\}\) drei mögliche Partitionen von \(M\). Abbildung 2.4 visualisiert die in diesem Beispiel betrachteten Partitionen.
2.3 Spezielle Mengen
Zahlenmengen
In der Naturwissenschaft versucht man, in der Vorstellung intuitiv als diskret oder kontinuierlich identifizierte Phänomene der Welt mit Zahlen zu beschreiben. Je nach Art des Phänomens bieten sich dazu verschiedene Zahlenmengen an. Die Mathematik stellt unter anderem die in folgender Definition gegebenen Zahlenmengen bereit.
Definition 2.9 (Zahlenmengen) Es bezeichnen
- \(\mathbb{N}\,\,\, := \{1,2,3,...\}\) die natürlichen Zahlen,
- \(\mathbb{N}_n := \{1,2,3,...,n\}\) die natürlichen Zahlen der Ordnung \(n\),
- \(\mathbb{N}^0 := \mathbb{N} \cup \{0\}\) die natürlichen Zahlen und null,
- \(\mathbb{Z}\,\,\, := \{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}\) die ganzen Zahlen,
- \(\mathbb{Q}\,\,\, := \{\frac{p}{q}|p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}\}\) die rationalen Zahlen,
- \(\mathbb{R}\,\,\,\) die reellen Zahlen und
- \(\mathbb{C}\,\,\, := \{a + ib|a,b\in \mathbb{R}, i := \sqrt{-1} \}\) die komplexen Zahlen.
Die natürlichen und die ganzen Zahlen eignen sich zum Quantifizieren diskreter Phänomene. Die rationalen und insbesondere die reellen Zahlen eignen sich zum Quantifizieren kontinuierlicher Phänomene. Die schrittweise Erweiterung dieser Zahlenmengen lässt sich intuitiv durch Gleichungen motivieren, die in der jeweils kleineren Zahlenmenge nicht immer lösbar sind. So besitzt die Gleichung \(5 + x = 3\) keine Lösung in \(\mathbb{N}^0\), aber mit \(x = -2\) eine Lösung in \(\mathbb{Z}\). Insbesondere die negativen ganzen Zahlen ermöglichen also die uneingeschränkte Subtraktion natürlicher Zahlen. Die Gleichung \(2x = 5\) besitzt wiederum keine Lösung in \(\mathbb{Z}\), aber mit \(x = \frac{5}{2}\) eine Lösung in \(\mathbb{Q}\). Die Gleichung \(x^2 = 1 + 1\) führt auf die positive Lösung \(x = \sqrt{2}\). Geometrisch entspricht \(\sqrt{2}\) der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten jeweils die Länge \(1\) haben, wie Abbildung 2.5 veranschaulicht. Obwohl sich dieses Dreieck zeichnen und seine Hypotenuse messen lässt, reicht die Menge der rationalen Zahlen zur Beschreibung ihrer exakten Länge nicht aus. Hierfür werden die reellen Zahlen benötigt, wie wir unten zeigen. Schließlich besitzt die Gleichung \(x^2 = -1\) keine Lösung in \(\mathbb{R}\), denn das Quadrat einer reellen Zahl ist stets nichtnegativ. In \(\mathbb{C}\) ist sie dagegen durch \(x = i\) und \(x = -i\) lösbar, wobei für die imaginäre Einheit \(i\) gilt, dass \(i^2 = -1\).
Die reellen Zahlen umfassen die rationalen Zahlen und die sogenannten irrationalen Zahlen \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\). Rationale Zahlen sind Zahlen, die sich durch Brüche ganzer und natürlicher Zahlen ausdrücken lassen. Hierzu gehören alle ganzen Zahlen sowie alle positiven und negativen Dezimalzahlen mit endlicher oder periodischer Dezimaldarstellung, beispielsweise \(-\frac{9}{10} = -0.9\), \(\frac{1}{3} = 0.\bar{3}\) und \(\frac{196}{100} = 1.96\). Zwischen zwei beliebigen verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen. Insbesondere liegt zwischen \(a,b \in \mathbb{Q}\) mit \(a < b\) stets die rationale Zahl \(\frac{a+b}{2}\), und dieses Argument kann zwischen den entstehenden Zahlen beliebig oft wiederholt werden. Auch zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegen unendlich viele weitere reelle Zahlen. Irrationale Zahlen sind dagegen Zahlen, die sich nicht als rationale Zahlen ausdrücken lassen. Beispiele hierfür sind die Eulersche Zahl \(e \approx 2.71\), die Kreiszahl \(\pi \approx 3.14\) und die Quadratwurzel von \(2\), \(\sqrt{2} \approx 1.41\).
Die reellen Zahlen enthalten als Teilmengen die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen. Insbesondere gilt \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\). Es gibt also sehr viele reelle Zahlen. Tatsächlich hat Cantor (1874) bewiesen, dass es mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen gibt, obwohl es sowohl unendlich viele reelle Zahlen als auch unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Diese Eigenschaft der reellen Zahlen bezeichnet man als die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen. Wir vertiefen diesen Begriff in Kapitel 4. Positiv-Unendlich \(\infty\) und Negativ-Unendlich \(-\infty\) sind dagegen keine Zahlen, mit denen in der Standardmathematik gerechnet werden könnte. Sie gehören auch nicht zu den in obiger Definition gegebenen Zahlenmengen, es gelten also \(\infty \notin \mathbb{R}\) und \(-\infty \notin \mathbb{R}\). Komplexe Zahlen schließlich eignen sich zur Beschreibung zweidimensionaler kontinuierlicher Phänomene. Dabei werden die Werte der ersten Dimension im Realteil \(a\) und die Werte der zweiten Dimension im Imaginärteil \(b\) einer komplexen Zahl repräsentiert. Komplexe Zahlen kommen beispielsweise bei der Modellierung physikalischer Phänomene und im Bereich der Fourieranalyse zum Einsatz.
Die Standardmenge zur Beschreibung kontinuierlicher Phänomene sind sicherlich die reellen Zahlen, auch wenn im täglichen Leben und insbesondere in der numerischen Mathematik de-facto reelle Zahlen in der Regel durch rationalen Zahlen approximiert werden. Wir werden auf das Wesen der reellen Zahlen an verschiedenen Stellen zurückkommen. An dieser Stelle wollen wir zunächst nur zeigen, dass in der Tat die Menge der rationalen Zahlen nicht ausreicht, um die Gleichung \(x^2 = 2\) nach \(x\) aufzulösen, denn die Quadratwurzel von \(2\) ist keine rationale Zahl.
Theorem 2.4 (Irrationalität von \(\sqrt{2}\)) Die Quadratwurzel von \(2\) ist keine rationale Zahl, \[\begin{equation} \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \end{equation}\]
Beweis. Mit der Notation für Beweise durch Widerspruch aus Kapitel 1.5 wollen wir zeigen, dass für die Aussagen (A) \(x = \sqrt{2}\) und (B) \(x \notin \mathbb{Q}\) die Implikation \(A \Rightarrow B\) gilt. Wir zeigen dies nach Abbott (2015, Kapitel 1) durch einen Beweis durch Widerspruch. Dazu zeigen wir, dass die Annahme \((\neg B) \land A\) zu einer falschen Aussage führt.
Die Aussage \(\neg B\) lautet im vorliegenden Fall \(x \in \mathbb{Q}\). Es gibt also \(p, q \in \mathbb{Z}\) mit \(q \neq 0\), sodass \[\begin{equation} x = \frac{p}{q} \end{equation}\] gilt. Ohne Einschränkung wählen wir diese Darstellung vollständig gekürzt, sodass \(p\) und \(q\) teilerfremd sind. Andernfalls könnten Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen ganzzahligen Teiler größer als \(1\) gekürzt werden, beispielsweise \(12/9\) durch den gemeinsamen Teiler \(3\) zu \(4/3\).
Unter der Annahme \((\neg B) \land A\) gelten zugleich \(x = p/q\) und \(x^2 = 2\). Daher gilt \[\begin{equation}\label{eq-wurzel-zwei-annahme} \left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2. \end{equation}\] Umformung von Gleichung \(\eqref{eq-wurzel-zwei-annahme}\) ergibt \[\begin{equation}\label{eq-wurzel-zwei-p-gerade} \left(\frac{p}{q}\right)^2 = 2 \Leftrightarrow \frac{p^2}{q^2} = 2 \Leftrightarrow p^2 = 2q^2. \end{equation}\] Daraus folgt, dass \(p^2\) durch \(2\) teilbar und somit gerade ist. Daher muss auch \(p\) gerade sein, da das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl stets ungerade ist. Wir können \(p\) also mit einem \(r \in \mathbb{Z}\) als \(p = 2r\) schreiben. Einsetzen in die letzte Gleichheit in \(\eqref{eq-wurzel-zwei-p-gerade}\) ergibt \[\begin{equation} p^2 = 2q^2 \Leftrightarrow (2r)^2 = 2q^2 \Leftrightarrow 4r^2 = 2q^2 \Leftrightarrow 2r^2 = q^2. \end{equation}\] Die letzte Gleichheit zeigt, dass \(q^2\) gerade ist. Folglich ist auch \(q\) gerade. Damit sind sowohl \(p\) als auch \(q\) durch \(2\) teilbar. Dies widerspricht der Annahme, dass \(p\) und \(q\) teilerfremd sind.
Damit führt die Annahme \((\neg B) \land A\) zu einem Widerspruch. Sie ist also falsch. Folglich gilt \[\begin{equation} x = \sqrt{2} \Rightarrow x \notin \mathbb{Q}. \end{equation}\] Damit ist gezeigt, dass \(\sqrt{2}\) keine rationale Zahl ist.
Wichtige Teilmengen der reellen Zahlen sind die sogenannten Intervalle. Wir geben folgende Definitionen.
Intervalle
Definition 2.10 (Intervalle) Zusammenhängende Teilmengen der reellen Zahlen heißen Intervalle. Für \(a,b\in \mathbb{R}\) unterscheidet man
- das abgeschlossene Intervall \[\begin{equation} [a,b] := \{x \in \mathbb{R}|a \le x \le b\}, \end{equation}\]
- das offene Intervall \[\begin{equation} ]a,b[ := \{x \in \mathbb{R}|a < x < b\}, \end{equation}\]
- und die halboffenen Intervalle \[\begin{equation} ]a,b] := \{x \in \mathbb{R}| a < x \le b\} \mbox{ und } [a,b[ := \{x \in \mathbb{R}| a \le x < b\}. \end{equation}\]
Exemplarisch stellen wir in Abbildung 2.6 die Intervalle \([1,2]\), \(]1,2]\), \([1,2[\) und \(]1,2[\) grafisch dar. Dabei stellt man sich die reellen Zahlen als kontinuierlichen Zahlenstrahl vor und muss jeweils beachten, ob die linken bzw. rechten Endpunkte Teil des Intervalls sind oder nicht. Wie oben erwähnt sind Positiv-Unendlich (\(\infty\)) und Negativ-Unendlich \(-\infty\) keine Elemente von \(\mathbb{R}\). Es gilt also immer \(]-\infty,b]\) oder \(]-\infty,b[\) bzw. \(]a,\infty[\) oder \([a,\infty[\), sowie \(\mathbb{R} = ]-\infty, \infty[\).
Kartesische Produkte
Oft möchte man mehrere unabhängige Eigenschaften eines Phänomens gleichzeitig quantitativ beschreiben. Zu diesem Zweck können die oben definierten eindimensionalen Zahlenmengen durch Bildung kartesischer Produkte auf mehrdimensionale Zahlenmengen erweitert werden. Die Elemente kartesischer Produkte nennt man geordnete Tupel oder Vektoren.
Definition 2.11 (Kartesische Produkte) \(M\) und \(N\) seien zwei Mengen. Dann ist das Kartesische Produkt der Mengen \(M\) und \(N\) die Menge aller geordneten Tupel \((m,n)\) mit \(m \in M\) und \(n \in N\), formal \[\begin{equation} M \times N := \{(m,n)|m\in M, n \in N \}. \end{equation}\]
Das Kartesische Produkt einer Menge \(M\) mit sich selbst wird bezeichnet mit \[\begin{equation} M^2 := M \times M. \end{equation}\] Seien weiterhin \(M_1, M_2, ..., M_n\) Mengen. Dann ist das Kartesische Produkt der Mengen \(M_1,...,M_n\) die Menge aller geordneten \(n\)- Tupel \((m_1,...,m_n)\) mit \(m_i \in M_i\) für \(i = 1,...,n\), formal \[\begin{equation} \prod_{i=1}^n M_i := M_1 \times \cdots \times M_n := \{(m_1,...,m_n) |m_i \in M_i \mbox{ für } i = 1,...,n\}. \end{equation}\] Das \(n\)- fache Kartesische Produkt einer Menge \(M\) mit sich selbst wird bezeichnet mit \[\begin{equation} M^n := \prod_{i=1}^n M := \{(m_1,...,m_n)|m_i \in M \mbox{ für } i = 1,...,n\}. \end{equation}\]
Im Gegensatz zu Mengen sind die in Definition 2.11 eingeführten Tupel geordnet. Das heißt, für Mengen gilt beispielsweise \(\{1,2\} = \{2,1\}\), aber für Tupel gilt \((1,2) \neq (2,1)\).
Beispiel 2.3 (Kartesische Produkte) Es seien \(M := \{1,2\}\) und \(N := \{1,2,3\}\). Dann ist das Kartesische Produkt \(M\times N\) gegeben durch \[\begin{equation} M \times N := \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)\} \end{equation}\] und das Kartesische Produkt \(N \times M\) ist gegeben durch \[\begin{equation} N \times M := \{(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)\} \end{equation}\] Das Kartesische Produkt ist also im Allgemeinen nicht kommutativ, es gilt also nicht notwendigerweise, dass \(M \times N = N \times M\). Man mag sich die in diesem Beispiel konstruierten Mengen \(M \times N \neq N \times M\) mithilfe von Tabelle 2.1 und Tabelle 2.2 konstruieren.
| \((m,n)\) | \(n = 1\) | \(n = 2\) | \(n = 3\) |
|---|---|---|---|
| \(m = 1\) | \((1,1)\) | \((1,2)\) | \((1,3)\) |
| \(m = 2\) | \((2,1)\) | \((2,2)\) | \((2,3)\) |
| \((n,m)\) | \(m = 1\) | \(m = 2\) |
|---|---|---|
| \(n = 1\) | \((1,1)\) | \((1,2)\) |
| \(n = 2\) | \((2,1)\) | \((2,2)\) |
| \(n = 3\) | \((3,1)\) | \((3,2)\) |
\(\mathbb{R}\) hoch \(n\)
Wie oben beschrieben, eignen sich insbesondere die reellen Zahlen zur Beschreibung kontinuierlicher Phänomene. Zur simultanen Beschreibung mehrerer Aspekte eines kontinuierlichen Phänomens bietet sich entsprechend die Menge der reellen Tupel \(n\)- ter Ordnung, kurz \(\mathbb{R}\) hoch \(n\), an.
Definition 2.12 (Menge der reellen Tupel \(n\)-ter Ordnung) Das \(n\)- fache Kartesische Produkt der reellen Zahlen mit sich selbst wird bezeichnet mit \[\begin{equation} \mathbb{R}^n := \prod_{i=1}^n \mathbb{R} := \{x := (x_1,...,x_n)|x_i \in \mathbb{R}\} \end{equation}\] und wird “\(\mathbb{R}\) hoch \(n\)” gesprochen. Wir schreiben die Elemente von \(\mathbb{R}^n\) als Spalten \[\begin{equation} x := \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{equation}\] und nennen sie \(n\)- dimensionale Vektoren. Zur Abgrenzung nennen wir die Elemente von \(\mathbb{R}^1 = \mathbb{R}\) auch Skalare.
Beispiele
Vertraute Beispiele von \(\mathbb{R}^n\) sind \(\mathbb{R}^1\) als Menge der reellen Zahlen, \(\mathbb{R}^2\) als Menge der reellen Tupel im Modell der zweidimensionalen Ebene und \(\mathbb{R}^3\) als Menge der reellen Tripel im Modell des dreidimensionalen Raumes wie in Abbildung 2.7 visualisiert.
Ein Beispiel für ein \(x \in \mathbb{R}^4\) ist \[\begin{equation} x = \begin{pmatrix} 0.16 \\ 1.76 \\ 0.23 \\ 7.11 \end{pmatrix}. \end{equation}\]
Selbstkontrollfragen
- Geben Sie die Definition einer Menge nach Cantor (1895) wieder.
- Nennen Sie drei Möglichkeiten zur Definition einer Menge.
- Erläutern Sie die Ausdrücke \(m \in M\) und \(m \notin M\).
- Erläutern Sie die Ausdrücke \(M \subseteq N, M \subset N\) für zwei Mengen \(M\) und \(N\).
- Geben Sie die Definition der Kardinalität einer Menge wieder.
- Geben Sie die Definition der Potenzmenge einer Menge wieder.
- Es sei \(M := \{1,2\}\). Bestimmen Sie \(\mathcal{P}(M)\).
- Es seien \(M := \{1,2\}, N := \{1,4,5\}\). Bestimmen Sie \(M \cup N, M \cap N, M\setminus N, M \Delta N\).
- Erläutern Sie die Symbole \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{N}_n\) und \(\mathbb{N}^0\).
- Erläutern Sie die Unterschiede zwischen \(\mathbb{N}\) und \(\mathbb{Z}\) und zwischen \(\mathbb{R}\) und \(\mathbb{Q}\).
- Geben Sie die Definition abgeschlossener, offener und halboffener Intervalle wieder.
- Es seien \(M\) und \(N\) Mengen. Erläutern Sie die Notation \(M \times N\).
- Geben Sie die Definition von \(\mathbb{R}^n\) wieder.
Lösungen
- Siehe Definition 2.1.
- Siehe Definition 2.1.
- Siehe Definition 2.1.
- Siehe Definition 2.2.
- Siehe Definition 2.3.
- Siehe Definition 2.5.
- Es gilt \(\mathcal{P}(M) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}\}\)
- Es gelten \(M \cup N = \{1,2,4,5\}\), \(M \cap N = \{1\}\), \(M \setminus N = \{2\}\), \(M \Delta N = \{2,4,5\}\)
- \(\mathbb{N}\) bezeichnet die natürlichen Zahlen, also \(1,2,...\). \(\mathbb{N}_n\) bezeichnet die natürlichen Zahlen bis und inklusive \(n\), also \(1,2,...,n\). \(\mathbb{N}^0\) bezeichnet die natürlichen Zahlen und null, also \(0,1,2,...\).
- \(\mathbb{Z}\) enthält die negativen natürlichen Zahlen und die Null, \(\mathbb{N}\) nicht. \(\mathbb{R}\) enthält neben den rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) auch diejenigen Zahlen, die sich nicht als rationale Zahl darstellen lassen, wie zum Beispiel die Kreiszahl \(\pi\).
- Siehe Definition 2.10.
- Siehe Definition 2.11.
- Siehe Definition 2.12.