4 Funktionen
Funktionen bilden neben den Mengen den zweiten Grundpfeiler der modernen Mathematik. In dieser Einheit definieren wir den Begriff der Funktion, führen erste Eigenschaften von Funktionen ein und geben eine Übersicht über einige elementare Funktionen.
4.1 Definition und Eigenschaften
Definition 4.1 (Funktion) Eine Funktion oder Abbildung \(f\) ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element einer Menge \(D\) genau ein Element einer Menge \(Z\) zuordnet. \(D\) wird dabei Definitionsmenge von \(f\) und \(Z\) wird Zielmenge von \(f\) genannt. Wir schreiben \[\begin{equation} f : D \to Z, x \mapsto f(x), \end{equation}\] wobei \(f : D \to Z\) gelesen wird als “die Funktion \(f\) bildet alle Elemente der Menge \(D\) eindeutig auf Elemente in \(Z\) ab” und \(x \mapsto f(x)\) gelesen wird als “\(x\), welches ein Element von \(D\) ist, wird durch die Funktion \(f\) auf \(f(x)\) abgebildet, wobei \(f(x)\) ein Element von \(Z\) ist”. Der Pfeil \(\to\) steht für die Abbildung zwischen den Mengen \(D\) und \(Z\), der Pfeil \(\mapsto\) steht für die Abbildung zwischen einem Element von \(D\) und einem Element von \(Z\).
Es ist zentral, zwischen der Funktion \(f\) als Zuordnungsvorschrift und einem Wert der Funktion \(f(x)\) als Element von \(Z\) zu unterscheiden. \(x\) ist das Argument der Funktion (der Input der Funktion), \(f(x)\) der Wert, den die Funktion \(f\) für das Argument \(x\) annimmt (der Output der Funktion). Üblicherweise folgt in der Definition einer Funktion \(f(x)\) die Definition der funktionalen Form von \(f\), also einer Regel, wie aus \(x\) der Wert \(f(x)\) zu bilden ist. Zum Beispiel wird in folgender Definition einer Funktion \[\begin{equation} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\ge 0}, x \mapsto f(x) := x^2 \end{equation}\] die Definition der Potenz genutzt. Man beachte, dass Funktionen immer eindeutig sind, das heißt, dass sie jedem \(x \in D\) bei jeder Anwendung der Funktion immer ein und dasselbe \(f(x) \in Z\) zuordnen.
Abbildung 4.1 visualisiert einige Aspekte der Funktionsdefinition. Abbildung 4.1 A stellt dabei zunächst die zentralen Begriffe der Funktionsdefinition bildlich dar. Abbildung 4.1 B visualisiert ein erstes Beispiel für eine Funktion, bei der die den Argumenten zugeordneten Funktionswerte nicht durch eine Rechenregel, sondern durch direkte Definition bestimmt sind. Abbildung 4.1 C und Abbildung 4.1 D bedienen sich der Bildsprache, um zwei Aspekte der Definition von Funktionen mithilfe von Gegenbeispielen hervorzuheben: Bei der Zeichnung in Abbildung 4.1 C handelt es sich nicht um die Darstellung einer Funktion, da nach Definition 4.1 eine Funktion jedem Element einer Menge \(D\) genau ein Element einer Zielmenge \(Z\) zuordnet. Die hier angedeutete Zuordnungsvorschrift ordnet dem Element \(2 \in D\) aber kein Element in \(Z\) zu und ist deshalb keine Funktion. Ebenso gilt nach Definition 4.1, dass eine Funktion jedem Element einer Menge \(D\) genau ein Element einer Zielmenge \(Z\) zuordnet. Die in Abbildung 4.1 D angedeutete Zuordnungsvorschrift ordnet \(1 \in D\) aber sowohl das Element \(a \in Z\) als auch das Element \(b \in Z\) zu und ist deshalb mit Definition 4.1 nicht vereinbar.
Funktionen setzen also Elemente von Mengen miteinander in Beziehung. Die Mengen dieser Elemente erhalten spezielle Bezeichnungen.
Definition 4.2 (Bildmenge, Wertebereich, Urbildmenge, Urbild) Es sei \(f : D \to Z, x \mapsto f(x)\) eine Funktion und es seien \(D' \subseteq D\) und \(Z' \subseteq Z\). Die Menge \[\begin{equation} f(D') := \{z \in Z | \mbox{Es gibt ein } x \in D' \mbox{ mit } z = f(x)\} \end{equation}\] heißt die Bildmenge von \(D'\) und \(f(D) \subseteq Z\) heißt der Wertebereich von \(f\). Weiterhin heißt die Menge \[\begin{equation} f^{-1}(Z') := \{x \in D | f(x) \in Z'\} \end{equation}\] die Urbildmenge von \(Z'\). Ein \(x \in D\) mit \(z = f(x) \in Z\) heißt ein Urbild von \(z\).
Man beachte, dass der Wertebereich \(f(D)\) von \(f\) und die Zielmenge \(Z\) von \(f\) nicht notwendigerweise identisch sein müssen.
Beispiel 4.1 (Bildmenge, Wertebereich, Urbildmenge und Urbild) Um die in Definition 4.2 eingeführten Begriffe zu verdeutlichen, betrachten wir die in Abbildung 4.2 A dargestellte Funktion \[ f : \{1,2,3,4,5\} \to \{a,b,c,d\}, x \mapsto \begin{cases} f(1) & := b \\ f(2) & := d \\ f(3) & := c \\ f(4) & := c \\ f(5) & := d \end{cases}. \tag{4.1}\] Nach Definition 4.2 ist eine Bildmenge immer bezüglich einer Teilmenge \(D'\) der Definitionsmenge \(D\) definiert. Sei also wie in Abbildung 4.2 B dargestellt \(D' := \{2,3\} \subset D\). Dann ist die Bildmenge von \(D'\) die Menge der \(z \in Z\), für die ein \(x \in D'\) existiert, sodass \(z = f(x)\). Diejenigen \(z \in Z\), für die ein \(x \in D'\) mit \(z = f(x)\) existiert, sind aber hier gerade \(c,d \in Z\), da \(f(2) = d\) und \(f(3) = c\). Darüber hinaus gibt es keine \(z \in Z\) mit \(f(x) = z\) und \(x \in \{2,3\}\). Der Wertebereich \(f(D)\) ist nach Definition 4.2 die Teilmenge der \(z \in Z\), für die gilt, dass ein \(x \in D\) existiert, für das \(z = f(x)\) ist. Dies ist für alle Elemente von \(Z\) der Fall, außer für \(a \in Z\), da für dieses kein \(x \in D\) existiert mit \(a = f(x)\). Der Wertebereich von \(f\) ist für die betrachtete Funktion also durch \(f(D) := \{b,c,d\}\) gegeben.
Umgekehrt ist nach Definition 4.2 eine Urbildmenge immer bezüglich einer Teilmenge \(Z'\) der Zielmenge \(Z\) definiert. Sei also wie in Abbildung 4.2 C dargestellt \(Z' := \{c,d\} \subset Z\). Dann ist die Urbildmenge von \(Z'\) die Menge der \(x \in D\), für die gilt, dass \(f(x) \in Z'\). Diejenigen Elemente von \(D\), deren Funktionswerte unter \(f\) durch Elemente von \(Z'\) gegeben sind, sind gerade \(\{2,3,4,5\}\). \(1 \in D\) dagegen ist kein Element von \(f^{-1}(Z')\), da \(f\) \(1 \in D\) auf \(b \in Z\) abbildet und \(b \notin Z'\). Nichtsdestotrotz ist natürlich \(1 \in D\) ein Urbild von \(b\).
Grundlegende Eigenschaften von Funktionen werden in folgender Definition benannt.
Definition 4.3 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) Es sei \(f : D \to Z, x \mapsto f(x)\) eine Funktion.
- Die Funktion \(f\) heißt injektiv, wenn es zu jedem Bild \(z \in f(D)\) genau ein Urbild \(x \in D\) gibt. Äquivalent gilt, dass \(f\) injektiv ist, wenn aus \(x_1, x_2 \in D\) mit \(x_1 \neq x_2\) folgt, dass \(f(x_1) \neq f(x_2)\) ist.
- Die Funktion \(f\) heißt surjektiv, wenn \(f(D) = Z\) gilt, wenn also jedes Element der Zielmenge \(Z\) ein Urbild in der Definitionsmenge \(D\) hat.
- Die Funktion \(f\) heißt bijektiv, wenn \(f\) injektiv und surjektiv ist. Bijektive Funktionen heißen auch eineindeutige Funktionen (engl. one-to-one correspondences).
Beispiel 4.2 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) Wir verdeutlichen Definition 4.3 zunächst anhand dreier Beispiele und Gegenbeispiele in Abbildung 4.3. Abbildung 4.3 A visualisiert dabei die nicht injektive Funktion \[\begin{equation} f : \{1,2,3\} \to \{a,b\}, x \mapsto \begin{cases} f(1) & := a \\ f(2) & := a \\ f(3) & := b \end{cases}. \end{equation}\] Die Funktion ist nicht injektiv, weil es zum Element \(a\) in der Bildmenge von \(f\) mehr als ein Urbild in der Definitionsmenge von \(f\) gibt, nämlich die Elemente \(1\) und \(2\). Abbildung 4.3 B visualisiert die nicht surjektive Funktion \[\begin{equation} g : \{1,2,3\} \to \{a,b,c,d\}, x \mapsto \begin{cases} g(1) & := a \\ g(2) & := b \\ g(3) & := d \end{cases}. \end{equation}\] Die Funktion ist nicht surjektiv, weil das Element \(c\) in der Zielmenge von \(g\) kein Urbild in der Definitionsmenge von \(g\) hat. Abbildung 4.3 C schließlich visualisiert die bijektive Funktion \[\begin{equation} h : \{1,2,3\} \to \{a,b,c\}, x \mapsto \begin{cases} h(1) & := a \\ h(2) & := b \\ h(3) & := c \end{cases}. \end{equation}\] Zu jedem Element in der Zielmenge von \(h\) gibt es genau ein Urbild, die Funktion ist also injektiv und surjektiv und damit bijektiv.
Als weiteres Beispiel betrachten wir die Funktion \[\begin{equation} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x^2 \end{equation}\] Diese Funktion ist nicht injektiv, weil z. B. für \(x_1 = 2 \neq -2 = x_2\) gilt, dass \(f(x_1) = 2^2 = 4 = (-2)^2 = f(x_2)\). Weiterhin ist \(f\) auch nicht surjektiv, weil z. B. \(-1 \in \mathbb{R}\) kein Urbild unter \(f\) hat. Schränkt man die Definitionsmenge von \(f\) allerdings auf die nichtnegativen reellen Zahlen ein, definiert man also die Funktion \[\begin{equation} \tilde{f} : [0,\infty[ \to [0,\infty[, x \mapsto \tilde{f}(x) := x^2, \end{equation}\] so ist \(\tilde{f}\) im Gegensatz zu \(f\) injektiv und surjektiv, also bijektiv.
Beispiel 4.3 (Zur Überabzählbarkeit der reellen Zahlen) Wir wollen an dieser Stelle die Begriffe der Surjektivität und Bijektivität von Funktionen nutzen, um den Begriff der Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zu vertiefen (vgl. Kapitel 2.3). Dieser besagt, dass es verschiedene Arten von Unendlichkeiten gibt, was zunächst sicherlich intuitiv nicht leicht zu fassen ist. Speziell wollen wir an dieser Stelle das Cantorsche Diagonalargument (Cantor (1891), Gray (1994)) zur Überabzählbarkeit der reellen Zahlen grob skizzieren. Wir beginnen damit festzuhalten, was vor dem Hintergrund bijektiver Abbildungen mit einer endlichen und einer abzählbar unendlichen Menge gemeint ist.
Definition 4.4 (Endliche und abzählbar unendliche Menge) Eine Menge \(M\) heißt endlich, wenn \(M = \emptyset\) gilt oder wenn es für ein \(n \in \mathbb{N}\) eine bijektive Abbildung \[\begin{equation} f : \mathbb{N}_n \to M \end{equation}\] gibt. Weiterhin heißt eine Menge \(M\) abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung \[\begin{equation} f : \mathbb{N} \to M \end{equation}\] gibt.
Im Falle einer endlichen Menge kann jedem Element der Menge im Sinne einer bijektiven Abbildung eine natürliche Zahl mit maximalem Wert \(n < \infty\) zugeordnet werden. Im Falle einer abzählbar unendlichen Menge kann jedem Element der Menge zumindest eine natürliche Zahl zugeordnet werden. Die Elemente dieser Mengen können also abgezählt werden. Cantor (1891) hat gezeigt, dass dies für die reellen Zahlen nicht möglich ist. Es kann keine bijektive Abbildung zwischen den natürlichen Zahlen und den reellen Zahlen konstruiert werden. Tatsächlich ist bereits das offene Intervall \(]0,1[\) überabzählbar. Um dies zu zeigen, nehmen wir im Sinne eines Widerspruchsbeweises an, es gebe eine surjektive Funktion \[\begin{equation} f : \mathbb{N} \to ]0,1[, n \mapsto f(n). \end{equation}\] Dann müsste jede Zahl aus \(]0,1[\) als \(f(n)\) für mindestens ein \(n \in \mathbb{N}\) auftreten. Um zu sehen, dass dies nicht sein kann, schreiben wir zunächst jedes \(f(n)\) in seiner Dezimaldarstellung \[\begin{equation} f(n) = 0{,}a_{n,1}a_{n,2}a_{n,3}\ldots, \end{equation}\] wobei \(a_{n,k} \in \{0,1,\ldots,9\}\) die \(k\)-te Dezimalziffer von \(f(n)\) bezeichnet. Eine solche vermeintlich vollständige Auflistung kann beispielsweise wie in Tabelle 4.1 beginnen.
| \(n\) | \(f(n)\) | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(0{,}\) | 3 | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | 2 | 6 | 5 | \(\cdots\) |
| \(2\) | \(0{,}\) | 8 | 9 | 4 | 5 | 9 | 7 | 8 | 1 | 0 | \(\cdots\) |
| \(3\) | \(0{,}\) | 9 | 6 | 2 | 3 | 2 | 1 | 5 | 8 | 7 | \(\cdots\) |
| \(4\) | \(0{,}\) | 5 | 3 | 6 | 8 | 8 | 8 | 9 | 7 | 3 | \(\cdots\) |
| \(5\) | \(0{,}\) | 7 | 4 | 3 | 8 | 1 | 8 | 0 | 9 | 7 | \(\cdots\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Wir konstruieren nun eine weitere Dezimalzahl. Dazu betrachten wir für jedes \(n \in \mathbb{N}\) die \(n\)-te Dezimalziffer von \(f(n)\), also die fett hervorgehobenen Diagonalziffern in Tabelle 4.1. Ist diese Ziffer von \(1\) verschieden, ersetzen wir sie durch \(1\). Ist sie gleich \(1\), ersetzen wir sie durch \(2\). Für die ersten fünf Zeilen des Beispiels ergibt sich damit die in Tabelle 4.2 dargestellte Konstruktion.
| \(n\) | \(f(n)\) | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(1\) | \(0{,}\) | 1 | 1 | 4 | 1 | 5 | 9 | 2 | 6 | 5 | \(\cdots\) |
| \(2\) | \(0{,}\) | 8 | 1 | 4 | 5 | 9 | 7 | 8 | 1 | 0 | \(\cdots\) |
| \(3\) | \(0{,}\) | 9 | 6 | 1 | 3 | 2 | 1 | 5 | 8 | 7 | \(\cdots\) |
| \(4\) | \(0{,}\) | 5 | 3 | 6 | 1 | 8 | 8 | 9 | 7 | 3 | \(\cdots\) |
| \(5\) | \(0{,}\) | 7 | 4 | 3 | 8 | 2 | 8 | 0 | 9 | 7 | \(\cdots\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) |
Die fett hervorgehobenen Ziffern definieren eine neue Zahl \(z\). Im dargestellten Beispiel beginnt diese Zahl mit \[\begin{equation} z = 0{,}11112\ldots \end{equation}\] und wird nach demselben Verfahren für alle weiteren Zeilen fortgesetzt. Da jede Dezimalziffer von \(z\) entweder \(1\) oder \(2\) ist, liegt \(z\) in \(]0,1[\). Die Zahl \(z\) unterscheidet sich von \(f(1)\) an der ersten Dezimalstelle, von \(f(2)\) an der zweiten Dezimalstelle und allgemein von \(f(n)\) an der \(n\)-ten Dezimalstelle. Daher gilt \(z \neq f(n)\) für jedes \(n \in \mathbb{N}\). Damit liegt \(z\) nicht im Wertebereich von \(f\). Dies widerspricht der Annahme, dass \(f\) surjektiv ist. Somit gibt es keine surjektive und daher insbesondere keine bijektive Abbildung von \(\mathbb{N}\) nach \(]0,1[\). Das Intervall \(]0,1[\) ist also nicht abzählbar unendlich, sondern überabzählbar. Da \(]0,1[ \subset \mathbb{R}\) gilt, sind auch die reellen Zahlen überabzählbar.
4.2 Funktionentypen
Durch Verkettung lassen sich aus Funktionen weitere Funktionen bilden.
Definition 4.5 (Verkettung von Funktionen) Es seien \(f : D \to Z\) und \(g : E \to S\) zwei Funktionen mit \(f(D) \subseteq E\). Der Wertebereich von \(f\) sei also in der Definitionsmenge von \(g\) enthalten. Dann ist durch \[\begin{equation} g \circ f : D \to S, x \mapsto (g \circ f)(x) := g(f(x)) \end{equation}\] eine Funktion definiert, die die Verkettung von \(f\) und \(g\) genannt wird.
Die Schreibweise für verkettete Funktionen ist etwas gewöhnungsbedürftig. Wichtig ist es zu erkennen, dass \(g \circ f\) die verkettete Funktion und \((g \circ f)(x)\) ein Element in der Zielmenge der verketteten Funktion bezeichnen. Intuitiv wird bei der Auswertung von \((g \circ f)(x)\) zunächst die Funktion \(f\) auf \(x\) angewendet und dann die Funktion \(g\) auf das Element \(f(x)\) von \(Z\) angewendet. Dies ist in der funktionalen Form \(g(f(x))\) festgehalten. Der Einfachheit halber benennt man die Verkettung zweier Funktionen auch oft mit einem einzelnen Buchstaben und schreibt beispielsweise \(h := g \circ f\) mit \(h(x) = g(f(x))\). Leicht zur Verwirrung kann es führen, wenn Elemente in der Zielmenge von \(f\) mit \(y\) bezeichnet werden, also die Schreibweise \(y = f(x)\) und \(h(x) = g(y)\) genutzt wird. Allerdings ist diese Schreibweise manchmal zur notationellen Vereinfachung nötig. Wir visualisieren Definition 4.5 in Abbildung 4.4.
Als Beispiel für die Verkettung zweier Funktionen betrachten wir \[\begin{equation} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := -x^2 \end{equation}\] und \[\begin{equation} g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto g(x) := \exp(x). \end{equation}\] Die Verkettung von \(f\) und \(g\) ergibt sich in diesem Fall zu \[\begin{equation} g \circ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto (g \circ f)(x) := g(f(x)) = \exp\left(-x^2\right). \end{equation}\]
Eine erste Anwendung der Verkettung von Funktionen findet sich in folgender Definition.
Definition 4.6 (Inverse Funktion) Es sei \(f : D \to Z, x \mapsto f(x)\) eine bijektive Funktion. Dann heißt die Funktion \(f^{-1} : Z \to D\), die jedem \(z \in Z\) sein eindeutig bestimmtes Urbild in \(D\) zuordnet, inverse Funktion, Umkehrfunktion oder einfach Inverse von \(f\). Es gelten \[\begin{equation} f^{-1}(f(x)) = x \mbox{ für alle } x \in D \end{equation}\] und \[\begin{equation} f(f^{-1}(z)) = z \mbox{ für alle } z \in Z. \end{equation}\]
Inverse Funktionen sind immer bijektiv. Dies folgt, weil \(f\) bijektiv ist und damit jedem \(x \in D\) genau ein \(f(x) = z \in Z\) zugeordnet wird. Damit wird aber auch jedem \(z \in Z\) genau ein \(x \in D\), nämlich \(f^{-1}(f(x)) = x\), zugeordnet. Intuitiv macht die inverse Funktion von \(f\) den Effekt von \(f\) auf ein Element \(x\) rückgängig. Wir visualisieren Definition 4.6 in Abbildung 4.5 A.
Betrachtet man konkret den Graphen einer Funktion in einem Kartesischen Koordinatensystem, so führt die Auswertung einer Funktion von einem Wert auf der \(x\)-Achse zu einem Wert auf der \(y\)-Achse. Die Auswertung der inversen Funktion führt dementsprechend von einem Wert auf der \(y\)-Achse zu einem Wert auf der \(x\)-Achse. Wir visualisieren dies in Abbildung 4.5 B. Betrachten wir beispielsweise die Funktion \[\begin{equation} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := 2x =: y. \end{equation}\] Dann ist die inverse Funktion von \(f\) gegeben durch \[\begin{equation} f^{-1} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y \mapsto f^{-1}(y) := \frac{1}{2}y, \end{equation}\] weil für jedes \(x \in \mathbb{R}\) gilt, dass \[\begin{equation} (f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x) = \frac{1}{2}\cdot 2x = x. \end{equation}\]
Eine wichtige Klasse von Funktionen sind lineare Abbildungen.
Definition 4.7 (Lineare Abbildung) Es seien \(D\) und \(Z\) reelle Vektorräume. Eine Abbildung \(f : D \to Z, x \mapsto f(x)\) heißt lineare Abbildung, wenn für alle \(x, y \in D\) und alle \(c \in \mathbb{R}\) gilt, dass \[\begin{equation} f(x + y) = f(x) + f(y) \tag*{(Additivität)} \end{equation}\] und \[\begin{equation} f(cx) = cf(x). \tag*{(Homogenität)} \end{equation}\] Eine Abbildung, die diese Bedingungen nicht erfüllt, heißt nichtlineare Abbildung.
Lineare Abbildungen sind oft als “gerade Linien” bekannt. Die allgemeine Definition linearer Abbildungen ist mit dieser Intuition nicht komplett kongruent. Insbesondere sind lineare Abbildungen nur solche Funktionen, die den Nullpunkt auf den Nullpunkt abbilden. Wir zeigen dazu folgendes Theorem.
Theorem 4.1 (Lineare Abbildung der Null) \(f : D \to Z\) sei eine lineare Abbildung. Dann gilt \[\begin{equation} f(0) = 0. \end{equation}\]
Beweis. Wir halten zunächst fest, dass mit der Additivität von \(f\) gilt, dass \[\begin{equation} f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0). \end{equation}\] Addition von \(-f(0)\) zu beiden Seiten obiger Gleichung ergibt dann \[\begin{equation} f(0) - f(0) = f(0) + f(0) - f(0) \Leftrightarrow f(0) = 0 \end{equation}\] und damit ist alles gezeigt.
Wir wollen den Begriff der linearen Abbildung noch an zwei Beispielen verdeutlichen.
- Für \(a \in \mathbb{R}\) ist die Abbildung \[\begin{equation} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := ax \end{equation}\] eine lineare Abbildung, weil gilt, dass \[\begin{equation} f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y) \mbox{ und } f(cx) = acx = cax = cf(x). \end{equation}\]
- Für \(a, b \in \mathbb{R}\) mit \(b \neq 0\) ist dagegen die Abbildung \[\begin{equation} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := ax + b \end{equation}\] nichtlinear, weil z. B. für \(a := b := 1\) gilt, dass \[\begin{equation} f(x + y) = 1(x + y) + 1 = x + y + 1 \neq x + 1 + y + 1 = f(x) + f(y). \end{equation}\]
Eine Abbildung der Form \(f(x) := ax + b\) heißt linear-affine Abbildung oder linear-affine Funktion. Etwas unsauber werden Funktionen der Form \(f(x) := ax + b\) auch manchmal als lineare Funktionen bezeichnet.
Neben den bisher diskutierten Funktionentypen gibt es noch viele weitere Klassen von Funktionen. In folgender Definition klassifizieren wir Funktionen anhand der Dimensionalität ihrer Definitions- und Zielmengen. Diese Art der Funktionsklassifikation ist oft hilfreich, um sich einen ersten Überblick über ein mathematisches Modell zu verschaffen.
Definition 4.8 (Funktionenarten) Wir unterscheiden
- univariate reellwertige Funktionen der Form \[\begin{equation} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x), \end{equation}\]
- multivariate reellwertige Funktionen der Form \[\begin{equation} f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) = f(x_1, \ldots, x_n), \end{equation}\]
- und multivariate vektorwertige Funktionen der Form \[\begin{equation} f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, x \mapsto f(x) = \begin{pmatrix} f_1(x_1, \ldots, x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1, \ldots, x_n) \end{pmatrix}, \end{equation}\] wobei \(f_i, i = 1, \ldots, m\) die Komponentenfunktionen von \(f\) genannt werden.
In der Physik werden multivariate reellwertige Funktionen Skalarfelder und multivariate vektorwertige Funktionen Vektorfelder genannt. In manchen Anwendungen treten auch matrixvariate matrixwertige Funktionen auf.
4.3 Elementare Funktionen
Als elementare Funktionen bezeichnen wir eine kleine Schar von univariaten reellwertigen Funktionen, die häufig als Bausteine komplexerer Funktionen auftreten. Dies sind die Polynomfunktionen, die Exponentialfunktion, die Logarithmusfunktion und die Gammafunktion. Im Folgenden geben wir die Definitionen dieser Funktionen sowie ihre wesentlichen Eigenschaften als Theoreme an und stellen ihre Graphen dar. Für Beweise der Eigenschaften der hier vorgestellten Funktionen verweisen wir auf die weiterführende Literatur.
Definition 4.9 (Polynomfunktionen) Für \(k \in \mathbb{N}^0\) und \(a_0,a_1,\ldots,a_k \in \mathbb{R}\) heißt eine Funktion der Form \[\begin{equation} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := \sum_{i = 0}^{k} a_i x^i = a_0 + a_1 x + \cdots + a_k x^k \end{equation}\] Polynomfunktion. Ist \(a_k \neq 0\), so hat sie den Grad \(k\). Sind alle Koeffizienten null, so heißt sie Nullpolynom. Dem Nullpolynom weisen wir hier keinen Grad zu.
Typische Polynomfunktionen sind in folgender Tabelle aufgelistet:
| Name | Funktionale Form | Koeffizienten |
|---|---|---|
| Konstante Funktion | \(f(x) = a\) | \(a_0 := a\), \(a_i := 0\), | \(i > 0\) |
| Identitätsfunktion | \(f(x) = x\) | \(a_0 := 0\), \(a_1 := 1\), | \(a_i := 0\), \(i > 1\) |
| Linear-affine Funktion | \(f(x) = ax + b\) | \(a_0 := b\), \(a_1 := a\), | \(a_i := 0\), \(i > 1\) |
| Quadratfunktion | \(f(x) = x^2\) | \(a_0 := 0\), \(a_1 := 0\), | \(a_2 := 1\), \(a_i := 0\), | \(i > 2\) |
Abbildung 4.6 zeigt die Graphen der in Definition 4.9 aufgelisteten Polynomfunktionen.
Ein wichtiges Funktionenpaar sind die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion.
Theorem 4.2 (Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften) Die Exponentialfunktion ist definiert als \[\begin{equation} \exp : \mathbb{R} \to \mathbb{R}_{>0}, x \mapsto \exp(x) := e^x := \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \end{equation}\] Die Exponentialfunktion hat die in folgender Tabelle aufgeführten Eigenschaften. Dabei seien \(x, y \in \mathbb{R}\).
| Eigenschaft | Bedeutung |
|---|---|
| Wertebereich | \(x \in ]-\infty,0[ \Rightarrow \exp(x) \in ]0,1[\) |
| \(x \in ]0,\infty[\, \Rightarrow \exp(x) \in ]1,\infty[\) | |
| Monotonie | \(x < y \Rightarrow \exp(x) < \exp(y)\) |
| Spezielle Werte | \(\exp(0) = 1\) und \(\exp(1) = e\) |
| Summationseigenschaft | \(\exp(x + y) = \exp(x)\exp(y)\) |
| Subtraktionseigenschaft | \(\exp(x - y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}\) |
Insbesondere nimmt die Exponentialfunktion nur positive Werte an und schneidet die \(y\)-Achse bei \(x = 0\). Die Zahl \(\exp(1) := e \approx 2{,}71\ldots\) heißt Eulersche Zahl. Schließlich gilt mit den speziellen Werten der Exponentialfunktion auch \[\begin{equation} \exp(x)\exp(-x) = \exp(x - x) = \exp(0) = 1. \end{equation}\]
Theorem 4.3 (Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften) Die Logarithmusfunktion ist definiert als inverse Funktion der Exponentialfunktion, \[\begin{equation} \ln : ]0,\infty[ \to \mathbb{R}, x \mapsto \ln(x) \mbox{ mit } \ln(\exp(x)) = x \mbox{ für alle } x \in \mathbb{R}. \end{equation}\] Die Logarithmusfunktion hat die in folgender Tabelle aufgeführten Eigenschaften. Dabei seien \(x, y > 0\) und \(c \in \mathbb{R}\).
| Eigenschaft | Bedeutung |
|---|---|
| Wertebereich | \(x \in\, ]0,1[\, \Rightarrow \ln(x) \in\, ]-\infty,0[\) |
| \(x \in\, ]1,\infty[ \Rightarrow \ln(x) \in\, ]0,\infty[\) | |
| Monotonie | \(x < y \Rightarrow \ln(x) < \ln(y)\) |
| Spezielle Werte | \(\ln(1) = 0\) und \(\ln(e) = 1\) |
| Produkteigenschaft | \(\ln(xy) = \ln(x) + \ln(y)\) |
| Potenzeigenschaft | \(\ln(x^c) = c\ln(x)\) |
| Divisionseigenschaft | \(\ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x)\) |
Im Gegensatz zur Exponentialfunktion nimmt die Logarithmusfunktion sowohl negative als auch positive Werte an. Die Logarithmusfunktion schneidet die \(x\)- Achse bei \(x = 1\). Die Produkteigenschaft und die Potenzeigenschaft sind beim Rechnen mit der Logarithmusfunktion zentral. Man merkt sie sich intuitiv als “Die Logarithmusfunktion wandelt Produkte in Summen und Potenzen in Produkte um.” Die Graphen der Exponential- und Logarithmusfunktion sind in Abbildung 4.7 abgebildet.
Ein häufiger Begleiter in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Gammafunktion.
Theorem 4.4 (Gammafunktion und ihre Eigenschaften) Die Gammafunktion ist für positive reelle Argumente definiert durch \[\begin{equation} \Gamma : \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}, x \mapsto \Gamma(x) := \int_0^\infty \xi^{x - 1}\exp(-\xi)\, d\xi. \end{equation}\]
Die Gammafunktion hat die in folgender Tabelle aufgeführten Eigenschaften.
| Eigenschaft | Bedeutung |
|---|---|
| Spezielle Werte | \(\Gamma(1) = 1\) |
| \(\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\) | |
| \(\Gamma(n) = (n - 1)!\) für \(n \in \mathbb{N}\) | |
| Rekursionseigenschaft | Für \(x > 0\) gilt \(\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)\) |
Ein Ausschnitt des Graphen der Gammafunktion ist in Abbildung 4.8 dargestellt.
Selbstkontrollfragen
Es bezeichne \(\mathbb{R}_{\ge 0} := \{x \in \mathbb{R} | x \ge 0\}\) die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen.
- Geben Sie die Definition einer Funktion wieder.
- Geben Sie die Definition der Begriffe Bildmenge, Wertebereich, Urbildmenge und Urbild wieder.
- Geben Sie die Definitionen der Begriffe Surjektivität, Injektivität und Bijektivität wieder.
- Erläutern Sie, warum \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto f(x) := x^2\) weder injektiv noch surjektiv ist.
- Erläutern Sie, warum \(f : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0} , x \mapsto f(x) := x^2\) bijektiv ist.
- Geben Sie die Definition der Verkettung von Funktionen wieder.
- Geben Sie die Definition des Begriffs der inversen Funktion wieder.
- Geben Sie die inverse Funktion von \(f : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0}, x \mapsto f(x) := x^2\) an.
- Geben Sie die Definition des Begriffs der linearen Abbildung wieder.
- Geben Sie die Definitionen der Begriffe der univariat-reellwertigen, multivariat-reellwertigen und multivariat-vektorwertigen Funktion wieder.
- Geben Sie die Summations- und Subtraktionseigenschaften der Exponentialfunktion an.
- Geben Sie die Produkt-, Potenz- und Divisionseigenschaften der Logarithmusfunktion an.
- Skizzieren Sie die Identitätsfunktion und die konstante Funktion für \(a := 1\).
- Skizzieren Sie die lineare Funktion \(f(x) = ax + b\) für \(a = 2\) und \(b = 3\).
- Skizzieren Sie die Funktionen \(f(x) := (x - 1)^2\) und \(g(x) := (x + 3)^2\).
- Skizzieren Sie die Exponential- und Logarithmusfunktionen.
Lösungen
- Siehe Definition 4.1.
- Siehe Definition 4.2.
- Siehe Definition 4.3.
- Die Funktion ist nicht injektiv, denn \(f(-2) = f(2) = 4\), obwohl \(-2 \neq 2\). Sie ist nicht surjektiv, denn negative reelle Zahlen haben kein Urbild unter \(f\).
- Die Funktion ist bijektiv, denn für jedes \(z \in \mathbb{R}_{\ge 0}\) gibt es genau ein \(x \in \mathbb{R}_{\ge 0}\) mit \(f(x) = z\), nämlich \(x = \sqrt{z}\).
- Siehe Definition 4.5.
- Siehe Definition 4.6.
- Die inverse Funktion ist \[\begin{equation} f^{-1} : \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0}, z \mapsto f^{-1}(z) := \sqrt{z}. \end{equation}\] Für \(x,z \in \mathbb{R}_{\ge 0}\) gelten \(f^{-1}(f(x)) = \sqrt{x^2} = x\) und \(f(f^{-1}(z)) = (\sqrt{z})^2 = z\).
- Siehe Definition 4.7.
- Siehe Definition 4.8.
- Für \(x, y \in \mathbb{R}\) gelten \[\begin{equation} \begin{aligned} & \exp(x + y) = \exp(x)\exp(y) \\ & \exp(x - y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}. \end{aligned} \end{equation}\] Siehe Theorem 4.2.
- Für \(x, y > 0\) und \(c \in \mathbb{R}\) gelten \[\begin{equation} \begin{aligned} & \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y) \\ & \ln(x^c) = c\ln(x) \\ & \ln\left(\frac{1}{x}\right) = -\ln(x). \end{aligned} \end{equation}\] Siehe Theorem 4.3.
- Der Graph der Identitätsfunktion ist die Gerade durch \((0,0)\) und \((1,1)\). Der Graph der konstanten Funktion mit \(a = 1\) ist die horizontale Gerade durch \((0,1)\). Siehe Abbildung 4.6.
- Der Graph von \(f(x) = 2x + 3\) ist eine Gerade mit Steigung \(2\) und Achsenabschnitt \(3\). Sie verläuft beispielsweise durch \((0,3)\) und \((1,5)\). Siehe Tabelle 4.3.
- Beide Graphen sind nach oben geöffnete Normalparabeln. Der Graph von \(f(x) = (x - 1)^2\) hat den Scheitelpunkt \((1,0)\), der Graph von \(g(x) = (x + 3)^2\) den Scheitelpunkt \((-3,0)\). Sie entstehen aus dem Graphen der Quadratfunktion durch Verschiebung um \(1\) nach rechts beziehungsweise \(3\) nach links. Siehe Abbildung 4.6.
- Siehe Abbildung 4.7. Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend, verläuft durch \((0,1)\) und nähert sich für \(x \to -\infty\) der \(x\)-Achse. Die Logarithmusfunktion ist streng monoton steigend, verläuft durch \((1,0)\) und besitzt die vertikale Asymptote \(x = 0\). Die beiden Graphen sind Spiegelbilder an der Geraden \(y = x\).